色と記号つきカードの組み合わせと確率

質問

赤青黄黒のカードが各５枚ずつあり、各々にa,b,c,d,eの記号がつけてあります。合計20枚です。そこから色も記号も異なる3枚を取り出す確率はいくらになるのでしょうか。全ての場合が20C3で、3種類の色のカードを取り出すのが4C3でその各々から1種類の記号のカードを取り出すのが5C1で,
その先が分かりません。根本的に場合わけができていないのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.7

hinebot · ベストアンサー

#2です。

「独立」という言葉を使ったのが悪かったのかも知れませんね。
要するに、「色が違う」ことと、「記号が違う」ことは１対１の対応ではなく、１対"場合の数"ということが言いたかったんですが。

「色が違う＝４色から３色選んだときの組合せ　4Ｃ3」
と
「記号が違う＝５種類から３種類選んだときの組合せ 5Ｃ3」
から１つずつ選ぶときの選び方は何通りか？
ということですね。

>。「３つを並べる順列　3P1=3!　」は、言葉としてはわかりますが、独立ではないような気がしてなりません。

これは「独立」ということとはちょっと違います。
３色に３種類の記号の割り振り方を考えているだけです。

つまり、
4C3×5C3×3!
この式は
（４色から３色選ぶ場合の数）×（５種類から３種類選ぶ場合の数）×（選んだ３色に、選んだ３種類を当てはめるときの割り振り方の数）
を意味しています。

お礼

お礼が遅くなりました.丁寧な回答ありがとうございます。３！が「（選んだ３色に、選んだ３種類を当てはめるときの割り振り方の数）」ということで、スッキリしました。今後ともよろしくお願いします。

回答No.6

hinebot

#2です。
横から失礼します。

>(1)、(2)の各々は理解できますが,(1)X(2)の意味。
>(1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数。

「色が違う」と「記号が違う」のは独立した事象である（どちらも、もう一方に左右されない）ですよね。
つまり、「色が違う」おのおのの取り方について「記号が違う」とり方があるので、総数は積になります。
なので、(1)×(2)です。

例を挙げると色の組合せは
(赤、青、黄),(赤、青、黒),(赤、黄、黒)…
とあり、記号の組合せは
(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)…
とありますが、
(赤、青、黄)に対して(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)…
(赤、青、黒)に対して(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)…
…
という風に考えられるということです。

しかし、これでは完全ではありません。例として、
(赤、青、黄)に対して(a,b,c)
について考えましょう。
a,b,c が赤、青、黄のどのカードなのかによって、また組合せが変わりますよね？
つまり、
赤a,青b,黄c も、青a,赤b,黄cも、黄a,青b,赤cも、どれも「(赤、青、黄)に対して(a,b,c)」になっているわけです。

これの数は、３つを並べる順列　3P1=3!　になりますよね。
従って、最後にこれを掛けて
(1)×(2)×3!
が、「色も種類も異なる３枚を取り出す場合の数」になります。

補足

ありがとうございます.独立がおぼろげに理解できました.「赤6個、青4個から赤2個、青2個を取り出す確率を求める場合」との「独立」の定義が微妙に違う気がします。「３つを並べる順列　3P1=3!　」は、言葉としてはわかりますが、独立ではないような気がしてなりません。補足お願いできますでしょうか。

回答No.5

hinebot

#2です。

>{(20×12×6)/3!}/20Ｃ3 = 240/1140 = 12/57

まだ約分できましたね。#4さんと同じく 4/19 になります。

お礼

ありがとうございます.よく見もせずに失礼しました.

回答No.4

kiriburi

まず、3種類の色，3種類の記号のカードから色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数は3!通り。

このことをふまえて、4色5記号から色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数を考えると
(1)3種類の色のカードを取り出すのが4C3
(2)3種類の記号のカードを取り出すのが5C3

(1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数

>全ての場合が20C3
ですから、確率は4C3×5C3×3!÷20C3=4/19

補足

すみませんが、ここのところが、よくわかりません。
解説お願いできますか?
(1)、(2)の各々は理解できますが,(1)X(2)の意味。
(1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数。

hinebotさん、 liar_adanさん の説明はわかりやすいのですが,答えも違うし・・・。

回答No.3

hinebot

#2です。

>確率は　(20×12×6)/20Ｃ3 = 240/1140 = 12/57
>となります。

すみません。この式に3!が抜けておりました。
{(20×12×6)/3!}/20Ｃ3 = 240/1140 = 12/57
です。

回答No.2

hinebot

>全ての場合が20C3で

ここまではOK.
この後は#1さんのおっしゃるようにnCr だけで考えるとややこしいですよね。

1枚目は任意なので20通り

2枚目は1枚目に引いたカードと色および記号が違わないといけないので、
３×５－３×１＝12通り

3枚目はさらに、1枚目とも2枚目とも色・記号が違わないといけないので
２×５－２×２＝６通り

よって、全部で （20×12×6）/3! = 240 通り
(3!で割っているのは、カードを引く順番による重複があるため）

確率は　(20×12×6)/20Ｃ3 = 240/1140 = 12/57
となります。

回答No.1

liar_adan

nCnで考えるとかえってややこしくなります。

タテ4マス、ヨコ5マスの配列を書いてください。
それぞれが色と記号に対応します。

まず1枚目。とにかくどれかの色でどれかの記号になるのだから、
確率は100%。

引いたカードを見て、配列の該当するマスに○をつけます。
そして、○印のタテヨコに、×をつけていきます。
同じ色、もしくは同じ記号のところは×。

次に2枚目をめくります。
残ったカードは19枚。
その中で、同じ色や同じ記号にならないものは、
配列のまだ×がついていないところです。
残っている空白のマスは12個のはずだから、
確率12/19。

2枚目もまた、配列の中に丸を付け、
タテヨコに×を書き込みます。

そして3枚目を引きます。
残っているカードは18枚。
空白のマスは6個のはずだから、
6/18＝1/3

こうして考えると、確率は
12/19 × 1/3
になります。