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放物線と直線の共有解と直線の傾きの関係についての疑問
- 数学の問題で放物線と直線の共有解や直線の傾きを求める問題について、模範解答と私の解答が異なる点に疑問を持っています。
- 模範解答では、放物線と直線の共有解を持つための条件を a < 0 としていますが、これが自明なのか不明です。
- 模範解答での直線が特定の点を通るときの解き方に疑問を持っています。特に、直線が y軸に平行な場合の代入と求められた交点の条件確認について不明点があります。
- ohmy-pasta
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【質問1に対する回答】 穴ありますね。 a＜0 より の部分が説明が足りません。 「グラフより傾き負」とするか、【解答B】のように丁寧に説明する必要があります。 接点まで求めなくても 「a＝7とすると y=g(x)=7x+7 は x≧0 において y＞0 となるのでこの範囲で y=f(x) とは共有点を持たない」 で良いと思います（あくまでも、頂点、最大値を示している場合）。 【質問2に対する回答】 【II】より【IV】の方がはるかに良いと思います。 【II】の 式4 の直線が (0, -2) を通るとき という言い方が雑です。 まず。 まず通るかどうかわからないのですから「通ると仮定すると」と語尾を注意しなければなりません。 でも (0, a) を通る直線が (0, -2) を通るかどうかを考えるときには、おっしゃる通り 「y=ax+a では表せない直線、つまり x=b」 も考えないといけませんね。 それに 左辺 a、右辺 -2 を求めて左辺＝右辺を言う、だから通る、というのも雑です。 ＞【II】だと、(0, -2) を通るとき、という a の値は求められても、本当にそのときのもう一つの交点は、 0≦x≦2 の範囲にはない、ということは確かめていない これもおっしゃる通りです。 【質問3に対する回答】 x と a が出てきたから恒等式と思ったのかも知れませんが、恒等式ではありません。恒等式と言うなら a (x +1) = -x^2 + x -2 ではなく a (x +1) = 0 のような形 でなければなりません。 示していただいた以上に高校生向きな解答はないでしょう。
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- gomagoma427
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申し訳ありません。穴ばかりの回答でお恥ずかしいかぎりです。。。 やはり等号を含めてしまうと議論に穴があいてしまうようです。 曲線がが（０，０）かあるいは（２，０）を通っているときに、さらにもう１点（０，２）の間でぶつかっている可能性は否定できませんでした。 場合分けとしては （I）頂点が（０，２）で接する → a=-1 (II) (0,2)の区間（端点である０と２は含まない）で１点で交わる つまり f(0)f(2) < 0 → -2 ＜a＜ -4/3 （III) 端の点ｘ＝０で交わる つまり、f(0) = 0 かつ f(2) < 0 → a = -2 (IV) ｘ＝２で交わる つまり、f(0) < 0 かつ f(2) = 0 → 解なし よって結果は a=-1、-2 ≦a＜ -4/3 です。質問者様の回答の通りでした。 回答をして質問者様を余計に悩ませるようなことをして申し訳ありませんでした。 私の他の回答で f(0) f(2) ≦0 と等号を入れてしまいますと、（IV)のところで解なしとなるべき答えのところが、ｆ（０）＞ ０ ｘとともにグラフが下がり、ｘ＝1/3のところでグラフがx軸とまじわり、頂点を過ぎてふたたび上昇してｘ＝２のところでｘ軸と交わる場合も、 ｆ（０）ｆ（２）＝０ なので条件を満たしてしまっていました。ここが間違いのもとでした。 ｆ（０）ｆ（２） ＜ ０ と（０，２）の区間（０と２を含まない）を１点だけで交わるということを強調した条件と、０と２のどちらかで交わるという条件は分けて考えたほうが混乱せずにシンプルでした。 ちなみに元のグラフはaの値にかかわらず、 ｆ（－１）＝４ ですので、（－１、４）を通りますが、ここから言えることはそれほど多くはないと思います。
お礼
何度もお付き合いありがとうございます。 いえいえ、新しい解法を示していただいただけでたいへん助かっておりますので、そんなに恐縮なさらないでください。 お返事遅くなってすみません。検証をしてみて、納得いたしました。 別に非難ではなく、私自身も同じ解法で進めていたら同じところを見落としてしまいそうです。数学って恐いなあ＆おもしろいなあと思いました。 １週間～１０日ほどおいてから締め切らせていただきます。 同じ方からも他の方からも引き続き いろいろなご指摘 を募集しておりますので、皆さまよろしくお願いします。
- gomagoma427
- ベストアンサー率42% (102/242)
すみません、再度No.2です。 私の回答には穴がありました。ふたつの場合を見逃していました。 ひとつは f(0) = 0 かつ f(2) < 0、つまり a=-2 のときです。 もうひとつは f(0) < 0 かつ f(2) = 0 のときですが、これを満たすaは存在しません。 したがって結局答えは a = -1, -2 ≦a≦ -4/3 となります。 場合分けが多くてめんどくさく感じますが、実は結局はふたつの場合分けで十分でした。 （ア）頂点が0≦x≦2でｘ軸と接する場合。 （イ）f(0) x f(2) ≦ 0 の場合です。 最初にNo.2で（イ）のやり方をとらなかったのはf(0) = f(2) = 0 と解がふたつ現れるのを防ぎたかったからなのですが、よくよく考えてみたら、 f(0) = a+2 f(2) = 3a+4 なので同時に０になることはありませんでした。 したがって、 f(0) x f(2) = (a+2)(3a+4) ≦ 0 を満たす範囲は -2 ≦a≦ -4/3 です。
お礼
ありがとうございます。 確かにおっしゃる通り考え過ぎだったかも知れません。 h(X) = ( X - (1-a)/2 )^2 + (1/4)( -a^2 +6a +7 ) とおいて 頂点（ (1-a)/2，(1/4)( -a^2 +6a +7 ) ） の位置を考える方がシンプルでした。 実は、もともと板書の模範解答を書き写したのは私ではなく、私は模範解答を見ながら別のやり方をしたので、 y = a X + a とおく というやり方に引きずられてしまいました。 まあそれはそれで、ａに関係ある式とａに無関係の式に分離できて、 無関係の方はグラフに描きやすいので、良かったのかなと思います。 一つ、明確な疑問が湧いてきました。 示してくださった解答方針には疑問はないのですが、等号の有無について、失礼ですけど ミス が見つけられなくて（私の方からも回答者さんの方からも）、目下苦しんでいます。 私の答えをコピペしたら間違いだった、とおっしゃいましたけれども、 a = -1, -2 ≦a＜ -4/3 は割と信用できる答えだと思っています。学校の先生もさすがに、「結論」の部分のミスを見落として全員に板書を写させたりしないでしょう？ a = -4/3 とするとまずいと思います。 元の式に代入すると X^2 + (-7/3)X + 2/3 = 0 ですので、 X = 2, 1/3 という２つの解を持つことになり、題意に反します。 私が添付したグラフにおいても、 緑線 （青線との見分けがしにくいですが、黄線のすぐ上の、（2，-4）を通る線） は（1/3，-16/9）（2，-4）の２点で交わるので、傾きはこのときの -4/3 よりもわずかに小さくないといけないとわかります。 しかし、いただいたご回答は完璧のように見えるので、なぜ等号でこのような問題が生じるのか がわからずに新たな悩みとなっています。 ちなみにいただいたご回答では（-1，0）は特に出て来ないのですね。何も X = -1 は特に注目する必要はないのでしょうか？
- gomagoma427
- ベストアンサー率42% (102/242)
すみません、No.2ですが、入力がめんどくさかったので質問者様の回答から一部コピペしましたが、 -2 ≦a＜ -4/3 ではなく -2 ＜a≦ -4/3 のような気がします。
お礼
ありがとうございます。 ＃４にまとめさせていただきます。
- gomagoma427
- ベストアンサー率42% (102/242)
なんだかものすごく難しいことをしているように感じます・・・。 模範解答、と言えるほどスマートな回答はできませんが、私なら３つに場合わけします。 場合分けの前にまず f(x) = x^2 + (a-1)x +a+2 とおきます。まず簡単なふたつの場合として、これが 0≦x≦2 の間に1点だけでｘ軸と交わる場合、 （I) f(0) ≦ 0 かつ f(2) > 0 (II) f(2) ≦ 0 かつ f(0) >0 の場合が考えられます。 ここで f(0) = a+2 f(2) = 3a+4 ですので、（I)のふたつの範囲を同時に満たすaは存在しないので、（I）の場合はありえません。 （II)は -2 ≦a＜ -4/3 となります。 ３つ目の場合として、頂点が接している場合が考えられます。 これは平方完成して頂点を求めます。 （(1-a)/2 , -(a-1)^2/4 + a + 2) ここで頂点のｘ座標は0≦x≦2 になければいけないので、 0≦ (1-a)/2 ≦2 であり、つまり -3≦a≦1 です。一方で頂点のｙ座標はゼロでなければならないので、 -(a-1)^2/4 + a + 2 ＝０ を解きますが、これは基本的に判別式が０と一緒なので質問者様が解いたとおり (a+1)(a-7)=0 となります。頂点のｘ座標から求めたaの範囲により、a=-1となります。 したがって、 a = -1, -2 ≦a＜ -4/3 が答えとなります。
お礼
ありがとうございます。 ＃４にまとめさせていただきます。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
模範解答なるものが厳密な根拠を示さないで思いつきでa<0を持ちこんでいるのなら完全に０点です。 数学は思い付きは論理として認めていません。 すべて必然性（必要十分条件）下の展開だけが正しいと扱われます。 質問(2,3)に関しては質問者が添付している図を示して話を進めているのなら大過ないと思います。 私は判別式なるものが大嫌いで従って2次方程式を壊して考えようとします。 x^2 + (a-1)x +a+2 = 0 ならば x=-1の時を別途調べて、 a=-(x^2-x+2)/(x+1)=-[4/(x+1)+(x-2)] と変形して y=-[4/(x+1)+(x-2)] (1) と y=a の交点を考えます。(1)は双曲線、簡単に描ける図形でy=aとの交点云々も一目瞭然です。
お礼
早速のご解答ありがとうございます。 判別式は正に必要十分の代表格、と思っていたのですが、お嫌いな方もいらっしゃるのですね。 a＝ の形に持ち込まれるのは目からウロコで、とても勉強になりました。 私にとっては、 y=-[4/(x+1)+(x-2)] のグラフ （x=-1 と y=x-2 を漸近線とする？） を描くときに y=-4/(x+1) y=-(x-2) の合成を考える時点で尻込みしてしまいそうですが、 今後このやり方もできるようにしてみようと思います。 ちなみに、 ＞x=-1の時を別途調べて、 の部分ですが、 x^2 + (a-1)x +a+2 = 0 は 4=0 となってしまうので、 x=-1となることはあり得ない（漸近線の交点） となって、この時のaの値は考える必要ない、 ということなのかな、と理解いたしました。 ありがとうございました。
お礼
ありがとうございます。すっきりしました。