方程

質問

x≧0,y≧0,2x＋y≦12,x＋2y≦12のとき、5x＋4yの最大値を求める方法で
まず、x≧0,y≧0,2x＋y≦12,x＋2y≦12を全て満たすような(x,y)の集合を
xy平面の領域として図示する方法がわかりません。

直線5x+4y=kが共有点をもつようなkの範囲の
最大値と最小値を求めれば良いそうですがどのようにもとめるのかわかりません。

そして、最大値はどのようにして求めるのでしょうか？

回答No.4

mikelucky · ベストアンサー

教えるのが下手なのでこれ以上器用に説明するのは困難なのですが...がんばってみます。

> 2x＋y＝12の左下側
x＋2y＝12の左下側

の左下がよくわかりません。

領域というのは点をさしているのではなく、面を示しているのです。
紙に、端から端まで一本の線を引くと二つに分けられますよね。
例えば横に線を引けば上下に領域ができます。
線に沿って紙を切れば、2つの部分に分かれるでしょう。

今回の領域の境界線は直線なので、やっぱり二つにわかれます。
それを左下、右上としたのです。

>どうして、1/4が出るのですか？

5x+4y=k
4y=(5x+k)
y=(1/4)*(5x+k)
y=(5/4)x+(1/4)k

ですよ。

> ｘとyは
0≦x≦4 0≦y≦4

5x＋4yにそれぞれ代入をして
20＋16=36になりました。答えは合っているのですが
5x+4y=k の辺りがよくわかりません。

x,yの範囲は必要ないですよ
求めたいのはｋの範囲です

先ほど求めた領域は(0,0) (6,0) (0,6) (4,4)
を頂点とする四角形になってます。

そこでこの領域と
y=(5/4)x+(1/4)k　のグラフが重なる範囲をみつけるわけです。

具体的には

y=(5/4)x-1
y=(5/4)x+0
y=(5/4)x+1
y=(5/4)x+2
　　・
　　・
　　・
と書いていき、このグラフが領域にぎりぎり重なる場所を見つけるわけです。
(面倒かもしれませんが、領域の図とこれらのグラフを書いて考えてみてください)

重なり始めるのはグラフがどの点を通るときですか？
(0,0)を通るときになります。
ではこのときのｋは？
5*0+4*0=0 k=0です

重なり終わりはグラフがどの点を通るときですか？
(4,4)を通るときになります。
ではこのときのｋは？
5*4+4*4=36 k=36です

という感じです。

もしかして、中学校のときから数学が苦手じゃなかったですか？(違ってたらごめんなさい)
もしそうなら今のうちに中学数学の復習をしておいてもいいかもしれません。
苦手で放り出していたところが、結構役に立ったりするもです(私がそうでしたので)

回答No.3

mikelucky

がんばって回答させていただきます

＞X＋2(12-2x)=12
x+24-4x=12
-3x=-12
x=4
2x＋y=12に代入して
8+y=12
y=4

符号のミスかな？

とりあえずこの手順にそって順番にやってみてください
実際に紙にグラフを書くとわかってきますよ

＞＞さてこの不等式が示す領域ですが、例えば2x＋y≦12の場合境界線は一本の直線ですので、上か下かになります。

上下というのがわかりにくいかな。境界線が2x＋y＝12
(変形するとy=-2x+12)なので直線のグラフになります。
１　これを実際にxy平面に書いてみてください。
右下がりの直線のグラフがかけたと思います。それが境界線なのです。

境界線が書けたらxy平面は２つに分けられてるはずですよね。（直線を長く伸ばすと分かれてる感じがわかると思います）

で、2x＋y≦12この不等式はそのどちら側を表してるのか？
ここで適当な点を決めて、その点が領域に含まれるかどうかを調べます。その点が含まれているようなら、そちら側が表している領域となります。

例として適当な点を(0,0)にしました(計算が簡単なので)
代入して計算すると
2*0+1*0≦12　となり、0≦12 なのでこの式は正しい→
その点が領域に含まれるということです。

つまり先ほど書いたグラフの左下半分((0,0)が含まれていますよね)が2x＋y≦12の表す領域です。

先ほど書いたグラフの上に、x＋2y＝12のグラフを書いてみてください。第一象限のx=4,y=4で交わると思います。
そして先ほどと同じように適当な点を決めて、その点が領域に含まれるかどうかを調べます。今回も(0,0)を選んでやってみましょう。そのグラフの左下がx＋2y≦12の領域になるはずです

ここですべの条件をあわせて見ましょう
x≧0,y≧なので第一象限である
2x＋y＝12の左下側
x＋2y＝12の左下側

これに共通する場所はどこか？
四角形が領域になっていると思います。

＞5x+4y=k はどこからでてきたのですか？
5x+4yはどんな値かわからないのでとりあえずｋって言う数値にしとこう程度の意味です。

先ほどの領域のうえに
5x+4y=k(変形するとy=(-5/4)x+(1/4)k)のグラフを書いてみましょう。
(1/4)kはわからない数値なのでこれを-1にしたとき,0にしたとき,1にしたとき,2にしたときという風に決めて書いてみると、だんだんグラフが上に上がって領域と交わってくるのがわかると思います。

一番最初に領域に交わってきたのは(1/4)kを何にしたときでしょう。
0にしたとき、つまりy=(-5/4)xのグラフを書いたときになってると思います。

(1/4)kを2にしたグラフまで書きましたが、これをもっと大きくするとどうでしょう。だんだん領域から離れる気がしませんか？
このぎりぎりのところのグラフは(1/4)kをいくつにしたときでしょう？その値からkを求めたらそれが最大値です。

数学は苦手ということですが、この手の問題はグラフを書いて目で見て理解するといいですよ。
この問題はちょっと応用なので苦手な人は基礎をしっかり固めておくとあとが楽ですよ。
なんて偉そうにいってますが私も数学苦手です(笑)

お礼

>5x+4y=k(変形するとy=(-5/4)x+(1/4)k)のグラフを書いてみましょう。
についてよくわかりません。
どうして、1/4が出るのですか？
共通の点はx=4,y=4

ｘとyは
0≦x≦4 0≦y≦4

5x＋4yにそれぞれ代入をして
20＋16=36になりました。答えは合っているのですが
5x+4y=k の辺りがよくわかりません。

補足

まだ、途中ですが
2x＋y＝12の左下側
x＋2y＝12の左下側

の左下がよくわかりません。

回答No.2

mikelucky

再びmikeluckyです

連立方程式を解くとx=4,y=4になると思います。
検算してみてください

5x+4y=k が2x＋y=12、x＋2y=12をといた値(この二つのグラフの交点)を通るときkが最大になると思うので、必要だと思います。

>よくわかりません。
説明が下手でごめんなさい。
今どこまで進んで、どこから理解できなくなったか補足して頂ければ、答えられるかも知れません。

補足

こちらこそすいません。
＞さてこの不等式が示す領域ですが、例えば2x＋y≦12の場合境界線は一本の直線ですので、上か下かになります。
～がよくわかりません。
数学が苦手で理解しようと思って何度もよんだのですがよめば読むほどこんがらかってしまいます。
できれば、手順１．２。と順序をつけた方法が理解できるかな？と思います。

それから、計算を何度してもＸ＝-4,Y=20になってしまいます。
2x＋y=12
Y=12-2
X＋2(12-2x)=12で。
それと、5x+4y=k はどこからでてきたのですか？
沢山質問してすいません。

回答No.1

mikelucky

xy平面の領域として図示する方法グラフを書いてみればよいのです。

xy座標をかいて、x≧0,y≧0ですからその領域は第一象限(x,y軸で4つにわけたうちの右上)にあります。

2x＋y≦12,x＋2y≦12についてですが、領域の境界線を決めてやればよいのです。
すなわち、2x＋y=12、x＋2y=12のグラフです。

さてこの不等式が示す領域ですが、例えば2x＋y≦12の場合境界線は一本の直線ですので、上か下かになります。
ここで適当な点(例えばx=0,y=0)を不等式に入れて、それが正しければ(2*0+1*0≦12は正しい)その点が領域内に含まれることになります。
よって原点を含む側が2x＋y≦12の領域とわかります。

これをすべての条件で行い、共通するところが求める領域となります。

この問いの場合、第一象限で、2x＋y=12で分けられたうちの原点を含む側で、x＋2y=12で分けられたうちの原点を含む側。ということで四角形が領域になっていると思います。

最大値についてですが
5x+4yをkという値だとして、それを最大にすればよいことになります。
与えられた条件のときの5x＋4yの最大値というのは、領域内の(x,y)をグラフに代入(グラフのx,yと領域のx,
yが等しい→共有点を持つ)したときに、kが最大値をもつということです。

そこで、5x+4y=k(変形するとy=(-5/4)x+(1/4)k)のグラフを書いてみましょう。
右下がりのグラフですが、ｙ切片がわかりません。
そこでそのグラフのｙ切片を適当に(-1,0,1,2)という風に決めて書いてみると、領域に重なるものとそうでないものがあることがわかります。

この重なっているときのｙ切片の範囲が(1/4)kの範囲
になります

この問題ならy切片を0としたとき重なり始め、それより大きい値なら重なるでしょう。
よって0≦(1/4)k なのでｋの最小値は0です。

同じようにして重なり終わり、これ以上ｋを大きくすると領域から外れるグラフもあるでしょう。
そのときのｙ切片から最大値を求めます。

補足

知識がなくてすいません。
よくわかりません。
2x＋y=12、x＋2y=12をとくと
X=-4 y=20になりました。
これは必要ですが？