π < 4 の証明

質問

例えば、　円周率＜４　であることを証明しようとしたとき、どういったアプローチをしたら素直でしょうか。

例えば、ラジアンという概念とラジアンを単位とした三角関数を説き起こし、特定の場合の三角関数値 (たとえば arctan(1) )の値を評価する、といったアプローチが考えられますが...最初のラジアンというところで飛躍がありそうな気もします。

なお某入試の事は知っていますし、それはこちらには使えないことは心得ています。

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

何と、「単純閉凸曲線」らしいです。

　　　↓ 参考URL >単純閉凸曲線の長さについて

参考URL：

http://portal.dl.saga-u.ac.jp/bitstream/123456789/118475/1/nishi_201108.pdf

お礼

今後、この質問を参照する方にはここで紹介されている文献、またその論文で参照されている文献が有用かと思いますのでベストアンサーとさせていただきました。

どうもありがとうございました。

補足

良い論文を紹介いただきありがとうございます。

この論文では、「円(を含む単純閉凸)曲線の長さとは内接する単純多辺形の長さの上限である」と定義して始まっていますね。

円周率>3を示すときは、長さを定義しなくても済んだのですが <4 を示すにはまずこれを長さと定義するとはじめないとだめなのかしらん。

回答No.10

shuu_01

僕は No.1、No.2　て良いのかと思ってました

閉凸曲線って初めて聞いてビックリしています

それはともあれ、古代、円周率の近似として、
円に内節・外接する正多角形によるπの近似
（アルキメデスによる計算）がされており、
今回は 円に外接する四角形で、昔の人は当然、
円周より外接する多角形の方が大きいとして
計算していたのですよね

証明するのって難しい (ノ゜ρ゜)ノ ォォォ・・ォ・・ォ・・・・

お礼

内外接正多角形でそうやって得られる値をもって円周の長さと定義すると宣言してしまえば、直感にも合致するし、何がわるいという訳でもないのですが。定義しないで何か言えないかなぁと思いまして...
議論に参加いただきどうもありがとうございます。

回答No.9

mojitto

＃１です。
補足を拝見しましたが…

>いくらでも長い閉曲線を描けます
これはいかんでしょ。
“閉曲線”ではなく、あくまで“弧”でなくてはならず、弧でない以上その閉曲線の長さは“π”と断定はできませんよね？
（もちろん長さがπで弧でない閉曲線は存在し得ますが）

質問者さまの補足ではπの定義そのものが崩れます。

補足

その円周率の定義とどういうものを指して言っていますか。

回答No.7

178-tall

「閉曲線」だけじゃ、NG ですネ。
「閉凸曲線」なら如何？ なのでしょうか。

たとえば、4 分円と、その二半径を二辺とする正方形でも想定。
その中に「いくらでも長い閉凸曲線を描ける」のか？…とか。

お礼

回答をお寄せいただきありがとうございます。

補足

「いくらでも長い閉凸曲線を描ける」のではないこと、上界が存在することをどうやって示しましょうか

回答No.6

Tacosan

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%9B%E6%9B%B2%E7%B7%9A
とかですね＞#5.

そもそも「円周率」をどう定義しようか.

お礼

＞そもそも「円周率」をどう定義しようか

素朴な「直径１の円の周の長さ」では定義として足りなくなってしまうように思います。

議論に参加していただきありがとうございます。

回答No.5

178-tall

>一辺の長さ１の正方形の中にはいくらでも長い閉曲線を描けます…

後学のため、簡単な一例でもご披露ください。

補足

ぎやのような図形がかんたんですかね、どんな長さを言われてもぎざぎざの密度さえ増やせばその長さを超えられますから。
数学の世界ですとフラクタル曲線とかいろいろ一般人の常識を超えたものが存在しますよね。ですので、理詰めの証明をするとしたらどうなるでしょう、という問いかけです。

回答No.4

B-juggler

(o｀・ω・)ゞデシ!!　元代数学の非常勤講師。

なんか不自然な気がする。

以下の図を見て。　「正方形の中にいくらでも閉曲線が引ける」ことと、

外周の長さを比べることは、同じ事だろうか？

添付図下側、扇型になっても同じ事だけど、

正方形の中にも、扇型の中にも　いくらでも長い閉曲線は引けるはずなんだけど。

あるいは、参照ＵＲＬの　連分数なんかで導くとか？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87

回答No.3

info22_

一辺の長さa=2の正方形の面積a*a=4と
それに内接する半径r=1の円の面積πr^2=π
を比較すれば、円は正方形の内部に完全に包含されるので
「π<4」が言える。

こんなのはダメかな～？

補足

面積にすれば大小関係ははっきりしますね。
ただ、こんどは円周長と面積の関係をどう証明しましょう。

算数だと、円を細かくスライスして組み替えて、長方形に見えるでしょとやっていますが、それは何の証明にもなっていませんよね。

回答No.2

naniwacchi

直径１の円の円周と一辺の長さ１の正方形の周とを比較するというのではダメ？

お礼

回答をお寄せいただきありがとうございました。

補足

素朴には、昔から外接多角形の周の長さが使われていますが、... 例えば一辺の長さ１の正方形の中にはいくらでも長い閉曲線を描けますので、それだけでは証明にならないと考えています。ここが、某入試みたいにはいかないところです。

回答No.1

mojitto

縦が１、横が２の長方形の中に、直径が２の半円をぶっ込む…
じゃ、ダメかな。

あとは円の弧と、長方形の横一辺を除いた外周を比較すればいいのでは？

お礼

回答をお寄せいただきありがとうございました。

補足

素朴には、そのとおりですが、... 例えば一辺の長さ１の正方形の中にはいくらでも長い閉曲線を描けますので、それだけでは証明にならないと考えています。