最適化問題

質問

max alogx1+(1-a)logx2

subject to 2x1+x2<=3
x1+x2<=2
x1,x2>=0

最適解が(x1,x2)=(1,1)となるようなaの範囲を求めよ。

いとう問題です。

私の解き方として
まずラグランジュの方程式L(x1,x2,λ1,λ2)

L=alogx1+(1-a)logx2+λ1( 2x1+x2-3)+λ2( x1+x2-2)

ｄL/dx1=(a/x1)+2λ1+λ2=0
dL/dx2=((1-a)/x2)+λ1+λ2=0

上記の2式を解くと

λ1=1-2a
λ2=3a-2

が得られる。λ1,λ2>=0なので

1-2a>=0
3a-2>=0

ここまで、やりましたが。しかし、上記の不等式の組を満たすaは存在しません。
私のやり方にはどこが悪かったのでしょうか。
わかっていらっしゃる方、ご指摘いただければありがたく存じます。
よろしくお願いします。

回答No.1

spring135

これは高校生のほうが簡単に解いてしまうでしょう。

x1=x, x2=yとしてxy平面に絵を描いてみれば一目瞭然でしょう。

そもそも(x1,x2)=(1,1)で目的関数は0となり、最適化問題を構成しているのかどうかも怪しいと思いますがこんな問題があるのですか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

問題は大学試験の問題で、そのまま写しました。
(x1,x2)=(1,1)のときに、目的関数が最大値=0をとる
そうなるようにaの範囲をもとめよ。という問題ですね。
私の説明が雑ですみません。

この問題は普通最適化問題として成立すると思いますが、というか非線形最適化のラグランジュ未定乗数法
ってみなこんな感じですね。

後は、グラフ法についてですが、z=alogx1+(1-a)logx2のグラフは私にとって描きにくいので、
この問題では考えていません。