データ集団から抽出した値の総和が条件にあてはまるか

質問

こんにちは

数学超初心者です。

ある数値のデータ集団Ａがあり
その集団Ａから任意の数（Ｎ個）抽出した際に、
その総和が数値Bを超える確率を表す場合、どのような計算をすれば良いのでしょうか？

教えてください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

[1] まず、お求めの確率を正確に計算する方法を説明します。
[1-1]データ集団AがM個のデータで出来ているとします。その中からN個を選ぶ全ての組み合わせを調べます。
　「M個の中からN個を選ぶ」というのは、まずAのデータを（どんな順番でもいいけれど）決まった列に並べておきます。そして、この列の中から一つ選びます。次に列中でそれより後にあるものを一つ選ぶ、さらにそれより後にあるものを一つ選ぶ、…、という風にしてN個を選ぶんです。組み合わせの数は C = M×(M-1)×…×(M-N+1) / ( N×(N-1)×…×1 ) 通り。
　たとえば(5, 1, 2, 1, 3)という列からN=2個を選ぶと、M=5, N=2だからC=(5×4)/(2×1)=10通りあって、
(5,1), (5,2), (5,1), (5,3), (1,2), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (1,3)
です。

[1-2] 次に、それぞれについて総和を計算し、そのコタエを小さい順に並べた表を作ります。Aの中に同じ数値を持つデータが複数ある場合には、幾つかの場合においてコタエが同じになることもありますが、それらも重複して並べます。なので、C個のコタエが並んだ表になります。
　上記の例なら総和のコタエはそれぞれ
6, 7, 6, 8, 3, 2, 4, 3, 5, 4
なので、コタエを小さい順に並べると
2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8
という表ができます。

[1-3]　数値Bを決めたとき、表を順に見て、数値Bより大きくなるのは表の何番目のコタエであるかを調べます。それがm番目であるとしましょう。すると、(C-m+1)/Cが求める確率です。上記の例で、たとえばB=5であれば、m=7。なので求める確率は (10-7+1)/10 = 4/10。
　以上が、正確な確率を計算する方法です。

[2] 　たとえばAに100個のデータがあってN=3であれば、 C=100×99×98/(3×2×1) = 161700通り。これでも既になかなか大変ですが、Nがもうちょっと大きくなると、Cはとんでもなく大きくなり、コンピュータでも手に負えなくなります。そういう場合、正確な確率の計算は諦めて、近似値で我慢するのが現実的です。
　そのやり方はというと、まず（上記[1-1]と同じく）あらかめデータを決まった列に並べておく。そして、この列の中から（[1-1]のようにN個を選ぶ全ての組み合わせを作る代わりに）乱数を使ってランダムにN個を選ぶ、ということをうんと沢山繰り返すんです。（「うんと沢山」とは言っても、Cに比べればずっと少なくて済ませる訳です。）[1-2]以降は上記と全く同じです。

　ここで、「ランダムにN個を選ぶ」というのは、列の中からランダムに1個選ぶということをN回繰り返すだけ。既に選んだやつより列の後ろにあるのを選ぶ、ということをやる必要はありません。ただし、同じもの（データが同じ数値であるかどうかは関係なくて、列の何番目かという事が同じであるもの）をN個中に2度以上選んでしまった場合は「取り出し失敗」として、捨てます。こうして、N個のデータを選び出す。これが「ランダムにN個を選ぶ」ってことです。

[3]　一方、もしAのデータが何か単純な規則に従っているなら、お求めの確率の近似値を比較的簡単に計算できる場合があります。そのやりかたは、Aが従っている規則に応じてそれぞれ工夫しなくてはなりません。

お礼

回答ありがとうございます。
何度も読み直してよく理解したいと思います。