極限の基礎的な事項について

質問

三角関数の極限値についての勉強をしていたのですが、証明を見ると、
cosθ<sinθ/θ<1を
lim cosθ≦lim(sinθ/θ)≦1
と変形していた箇所がありました。(全てθ→0です)
なぜ<が≦になっているのでしょうか?
回答よろしくお願いします。

回答No.3

ask-it-aurora · ベストアンサー

<回答No.1補足

では φ(x) < ψ(x) がすべての実数 x について成り立つならば limφ(x) ≦ limψ(x) を示しましょう．しかし f(x) = ψ(x) - φ(x) とおいてしまえば
0 < f(x) ⇒ 0 ≦ lim f(x)
を示せば十分です．

とは言ったものの x → x0 としたときに，もし f が x0 で連続とわかっているならばこんなのは当たり前です．そこで （もとのが1/θ → ∞ ですし）極限値lim_{x → ∞} f(x) = ξが存在するとき証明をしましょう．

背理法です．もしξ < 0 ならば収束の定義からε:= |ξ|/2 > 0 に対して，ある M > 0 が存在して
x > M ⇒ |f(x) - ξ| < ε
とできます．けれどもこれを満たすならば仮定とεのとり方から f(x) < 0 となり，矛盾です．したがって ξ ≧ 0 です．

お礼

なるほど！納得出来ました。ようやく次に進めそうです。
本当に助かりました。ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

ちゃんと示すなら、εδなんだろけどね。
高校流で説明すると…

lim[x→a]f(x)=α, α＜0 だったとすると、
x が a に近いとき f(x) は α に近いから、
その差が ｜α｜ より小さくなるように
x を a に十分近づければ、f(x)＜0 になる。
f(x)＞0 を満たす f では、それは起こらない。
…ということ。

ただ、この証明は、g(x)＜h(x) のとき lim g(x)≦lim h(x)
であることを示すもので、質問にあった
g(x)＜h(x) のとき lim g(x)＜lim h(x) じゃないのか？
という点については、A No.1 のように
そうならない例を挙げれば、十分なはず。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞ lim cosθ≦lim(sinθ/θ)≦1
絶対的な大きさ関係としては cosθ＜ sinθ/θ＜ 1だけれども、
「極限値という結果」でみれば、等しくなることも考えられるから。という意味でしょうね。

でもちょっと気持ち悪い感じもわかります。＾＾；

lim[θ→0] sinθ/θ＝ 1の証明のところだと思いますが、
通常は cosθ＜ sinθ/θ＜ 1を示しておいて
「cosθ→ 1であるから、はさみうちの原理より」
と書くことが多いと思います。

回答No.1

ask-it-aurora

極限操作をしたあとでは < を ≦ にしなければなりません．（極限操作をしたあとでもなお < が成立する場合もありますが，一般には成り立たないということです．）

具体例としては数列 1/n を考えてみればよいでしょう．もちろんすべての自然数 n に対して
0 < 1/n
は成り立ちますが
0 < lim 1/n = 0 (n →∞)
はウソです．

補足

確かにその具体例では、≦でなくてはならないことが分かりました。
しかし、それが全てにおいて成り立つかどうかはわからないので、
何故極限操作をした後には<を≦に変えなくてはならないのか
証明して頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。