a^3+b^3の因数分解の方法教えてください

質問

(a+b)(a^2-ab+b^2)を展開するとa^3+b^3になることはしっていますが　a^3+b^3を　どういう風に因数分解すると(a+b)(a^2-ab+b^2)　になるのでしょうか？
　私はいつも(a+b)(a^2-ab+b^2)を展開したらa^3+b^3になるから　a^3+b^3なら(a+b)(a^2-ab+b^2)　と機械的に覚えてたので　ふと気になりました　初歩的なことですが　どなたか教えていただけるとありがたいです！

回答No.3

ast0718 · ベストアンサー

これはまあ、機械的に覚えておくのが一番いいでしょう。

理論的根拠はあります。数IIで習う因数定理というやつです。
関数ｆ(x)=x^3+1があったとします。
このときx=-1を代入すれば、
つまりf(-1)=0となりますよね。
f(x)=0となるようなx=k(上の例では-1)があるとき
f(x)は(x-k)を因数に持つ、つまりx-kで割り切れることを因数定理と呼びます。

この場合x^3+1は(x- (-1)) つまりx+1を因数に持ちます。
ここでx^3+1をx+1で割り算をします。
これも数IIで習うのでまあ勉強してください。(多項式の割り算　といいます)
省略しますが割り算によって(x+1)(x^2-x+1)に分解できます。
多項式の割り算は説明するのが大変なので説明しません。

a^3+b^3の場合は
f(a)=a^3+b^3とみます(bは定数と見ます。)
f(-b)=(-b)^3+b^3=0ですので
a^3+b^3は a-(-b) =a+bを因数に持ちます。
あとは同じように割り算して(a+b)(a^2-ab+b^2)

早い話が数IIの因数定理と多項式の割り算を勉強してください。
この因数定理をしっかり学べば覚えるのに役に立ちます。

お礼

わからないってことがわかりました　また数II勉強し終わったあとに見ます　ありがとう！

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

で、 a^3 + b^3 が、(a + b) で割り切れるということについては、

a = -b とすると、 (-b)^3 + b^3 = -b^3 + b^3 = 0 です。
で、因数定理というものがあって、 a に何かを代入して、式の値がゼロになるとき、 a - なにか で元の式が割り切れるというものがあります。

これから、元の式は a = -b でゼロになるので、 a -(-b) = a + b で割り切れることになります。

回答No.1

hashioogi

a^3+b^3を(a+b)で割れば(a^2-ab+b^2)が得られますが、それではだめですか？