負の数×負の数

質問

負の数×負の数をよりわかりやすく解説する指導法などあったら教えてください。

回答No.4

ORUKA1951 · ベストアンサー

そもそも負の数とは何かを・・
小学校で、「掛け算には順番がある」「小さい数(かず)から大きい数(かず)は引けない」などは、習ったはずです。
中学校で、それらの数を抽象的な数(数)を導入するに当たって
[置換]
A?B=B?A　・・・?は任意の四則計算
[結合]
A×B + A×C = A×(B+C)
[分配]
A×(B+C) = A×B + A×C
に進むに当たって、小学校で学んだ「掛け算には順番がある」「小さい数(かず)から大きい数(かず)は引けない」を拡張する必要がありましたね。

　単位と数を切り離す、(実世界のかずから数学の数の世界に)ことによって、これらの法則が使えるようになったはずです。
　2-3 はできないのですが、2 + (-3) と【負の数】を導入することで、
2 + (-3) = -1　と書き直すことができます。
※ 2 - 3 = 3 - 2 でしたが、2 + (-3) = (-3) + 2 = -1
と、単位から脱却すると置換の法則も使えるようになります。
　・・・数(かず)が現実から拡張されて数(すう)となり数学として研究できる。

　割り算も同様に
4 ÷ 3 は、割り切れませんが、4 × (1/3) = 4/3
　これは、割り算とはその数の逆数を掛けることに等しいので、分数を導入(小学校)したはず。
　これによって
4 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 4 ですが
4 × (1/3) = (1/3) × 4
　もOKになりましたね。

　これによって、数を未知数に置き換えて、すべての数がひとつの公式で扱えるようになりました。
二次方程式を　ax² + bx + c = 0 なんて書き表せるのはこれらを学んだ上でした。

負の数は、A × (-1)と置ける
任意の自然数Aについて、A × x を考えて見ましょう。xを横軸に、その結果を縦軸に考えると、xの数が小さくなるに連れて計算結果は小さくなっていきます。
　たとえば、Aが2だと、x=10 なら20、5なら10、1なら2、では0だと 0 、じゃ -1だと？
　これは足し算で考えても良いですね。
-1 をかけるということは、大きさ(0からの距離)は同じで数直線上の左右が変わるだけです。

・・とにかくこの段階でもっとも大事なことは
・引き算は負の数を加えること
　　負の数とは、正の数に -1 をかけたもの
・掛け算は逆数をかけること
　だから、「掛け算には順番がある」「小さい数(かず)から大きい数(かず)は引けない」の制約から脱して数--それが未知数であっても---を自由に扱えるようになること。・・・ここを理解させておかないと、先には進めません。
　数直線を使うのが良いでしょう。

　では、負の数の計算ですが、任意の数において[置換][結合][分配]が成り立つなら
-A × -B は、(-1) × A × (-1) × B と書き換えられます。置換で
(-1 )× (-1) × A × B
ですから、（⁻1)×(-1) ×A×B = 1×A×B = A×B

＞負の数×負の数をよりわかりやすく解説する指導法

　数の拡張をしっかり指導できていれば、苦はないはずです。その前の段階の指導を見直してください。それができていないと、No.2山河紹介されたサイトのように苦労することになるでしょう。
　指導方法は、いくつかあると思いますが「あれこれ摘み喰いをせずに、決めたら徹底的にその方法で理解させること」「全員が理解できたら、はじめて他の切り口も説明すること」これがすべての教科にとって大事なことではないかと思います。ひとつの方法が分からないうちに他の方法を説明しても混乱するだけですからね。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.5

birth11

正の世界では負は負ですが、
負の世界では負は正です。

以上。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

entap

No2の方の回答に近いですが
「マイナスをかける、とはどういうことか」という説明として

2 × (-2) = (-2) × 2
より、
(-2) × 2 = -4
ところで、
2 × 2 = 4
また、
2　×　2　× (-1)　= -4

から、

「理由はよくわからないが、(結果として)「マイナスをかける、とは、数直線で見て、0を中心とした逆側に数値を持ってくること」のようだ」

と説明できます。

ここから

-2　× -2
→　-2　× 2 × -1
→ -4を数直線の逆側に持ってくる
→ 4
という説明ができます。

複素平面を踏まえた説明ですが、こういう説明方法もありかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

sporespore

http://naop.jp/topics/topics27.html

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

数直線上で、右の方向（数値が大きくなる方向）へ進むのを正、
左の方向へ進むのを負とします。
また、時間で、未来へ進むのを正、過去へ戻るのを負とします。

数直線上を左の方向（負の方向）へ進んでいる人がいるとします。
速さは毎時4kmです。
現在、この人は原点にいます。さて、2時間前にはどこにいたでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました。