材料力学、ルンゲクッタ法の適用法について

質問

私は、大学で人力飛行機を製作しているのですが、設計するにあたって、機体に使用するカーボンパイプの強度を知らなければなりません。そこで、私たちはパイプを自分たちで焼き、荷重試験を実施しました。
そこでの実測値と理論値を比較しようと思っています。

先輩から、理論式として以下の式を与えられ、解くように頼まれました。

　dz/dx + {M(x)/(EI)}√(1+z^2) = 0
　　ここでz=dy/dx
　xとyで書き換えると、
　d^2y/dx^2 + {M(x)/(EI)}√{1+(dy/dx)^2} = 0
　　M(x)は支点にかかる回転モーメント、Iは部材の断面二次モーメントです。

しかし、どうもルンゲクッタ法を用いた理論値の計算が分かりません。私は2年生なのですが、ルンゲクッタ法を扱う講義は受講していません。もちろん少し教科書は読んだもののピンと来ませんでした。

他のメンバーに頼みたいのですが、全員忙しく、どうしても私が解決せねばなりません。

実は、その先輩も（解の導出に）完璧な式かどうか分からないようでした。
そこで、

1. まず、上の式だけでルンゲクッタ法による解の導出は可能なのかどうか。
2. 可能ならばその手順を。不可能ならどのような条件が必要か。

そもそも、この質問自体、回答者の皆様へのデータが揃っているのかすら不安ですが、どうか、ご教示お願いいたします。

回答No.4

noname#221368

断面二次モーメントを一定とした時の、材料量を最小にする断面決定の最適化問題の一部に見えました。

　#2さんの仰るように、EI＝一定（xに対して）とすれば、微分方程式自体は解けます。Ｍ(x)が与えられた関数ならば、その積分はふつう、十分細かい台形公式の適用で十分です。arcsinh zは大抵の言語ではarcsinh zもsinh zも、数学的組込関数として用意されていますので、それを使って、z＝を求めるだけです。計算精度が問題なら、プログラム的にやりようは、いくらでもあります。

　なので、Ｍ(x)も問題の系の解の一部で、Ｍ(x)もトライアルで決めるのではないですか？。また「M(x)は支点にかかる回転モーメント」とありますが、xは支点の位置ですか？。そうであれば、支点間のＭ(x)はどうしますか？。断面二次モーメントＩが一定、という制約条件はありますか？（Ｅは一定でしょう）。

　以上の条件を全て出されても、お応えできる自信はありませんが、皆さんの仰るように、このままではルンゲクッタ法の出番はないはずです。

回答No.3

alice_44

「差分近似」は、寝ぼけていた。
ある x に対する z の値が
ルンゲ・クッタ法で近似できれば、
もとの微分方程式へ代入して
dz/dx の値は出てくる。
いや、失礼。

回答No.2

alice_44

その微分方程式は、変数分離型だから、
dz/√(1+zz) = -｛M(x)/EI｝dx から
arcsinh z = (-1/EI)∫M(x)dx + (積分定数)
arcsinh は、双曲線関数 sinh の逆関数
…と表示できるが、

M(x) の不定積分が初等関数で表示できない
ようなシロモノの場合には、そこから先は
数値積分によるしかない。そこで、
ルンゲ・クッタを使いたいのではないかな？

あと必要なのは、M(x) の具体的な関数と、
z の初期条件なのだと思う。

z は、関数値の列として得られるから、
y = dz/dx も、差分近似することになる。

回答No.1

spring135

ルンゲクッタ法は微分方程式の数値解法であって、理論値(解析解)を求める方法ではありません。

√(1+z^2)が分子だとすればM(x)の関数形が与えられれば解析解が求まりそうです。