(平面)ベクトルによる図形の証明問題

質問

お世話になっております。教科書の章末の証明問題のため、解が分からなく、御判断を仰ぎたく存じます。

問 四角形ABCDにおいて、辺AB、BC、CD、DA　の中点をそれぞれE、F、G、Hとし、対角線AC、BDの中点をそれぞれI、Jとする。このとき、線分EG、FH、IJは一点で交わることを証明せい。
一応次のように解いてみました。(計算や式変形の過程は省略してます。)

以下、定点Oに関してOA↑=a↑、OB↑=b↑、OC↑=c↑、OD↑=d↑ とする。EGとHFは一点で交わり、この点をQとする。
IJ↑=OJ↑-OI↑=(-a↑+b↑-c↑+d↑)/2…(1)

点Qは直線EG、FH上にあるから、
(ア) OQ↑={(1-t)a↑+(1-t)b↑+tc↑+td↑}/2。
(イ) OQ↑={(1-t)a↑+tb↑+tc↑+(1-t)d↑}/2。
(ア)=(イ)から、OQ↑=(a↑+b↑+c↑+d↑)/4。

IQ↑=OQ↑-OI↑=(-a↑+b↑-b↑+d↑)/4…(2)

(1)(2)から、IJ↑=2IQ↑が成り立つから、三点I、J、Qは直線IJ上にあり、QはEGとFHの交点だから、EG、FH、IJは一点Qで交わる。 おしまい。

矛盾点とか、もっとスマートな解き方あるでしょ、とかありましたら、ご回答願います。宜しくどうぞ。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
「置いてしまえば」証明問題なので、導けることは確実ですよね。
ですので、回答はそれでいいと思います。

もうちょっと「基本に立ち返る」というところで考えてみると。
AB→と AD→は「一次独立」なベクトルですから、
AC→はそれらの線形結合 s*AB→+ t*AD→（s, tは定数）と表すことができます。
点Aを原点として扱うイメージですね。

そこから、AQ→を AB→と AD→で表して・・・と
あとの流れは質問者さんの回答と同じになるかと。

お礼

なるほど。点Aに関して各線分を表現するのですね。ベクトルは表現が自由ですから、ちょっと表現に迷うのですが、教科書では割りと原点Oに関して表すことが多いので、計算は面倒になり得るけれども、これで通していこうかなぁと考えてます。

一次結合はベクトル概念の殆どに出て来ますので、しっかり把握したいと思います。

証明問題は計算と違って、証明の過程が省かれることがあるので、どうしても「これでいいのかな」と不安になります。ですから、はっきりと判断出来る回答者様にはいつも感心させられます(だから当てにさせてもらうのですが)。図形の証明問題には反例があって、「成り立たない」っていう結論に行き着くことがないのは、ある意味高校数学が解法暗記だって言われる所以何でしょうかね…

とまれ、独学者には非常に有り難いことです。ご回答ありがとうございました。