背理法の問題

質問

この解き方が正しいかどうか、教えてください。

回答No.2

kmee

左半分、基本的な考え方はいいと思いますが

p<=0の場合と、pが整数の場合に、 「a,bが互いに素」だと p=a/b となるa,bがありません。
1)「pは整数ではない正の値」事を証明する
2)「p=a/b (a,bは互いに素)」を適切に変更する
のいずれかの方法を取らないと、pが有理数全てについて調べたことになりません。

ここで、f(p)=p^3+p+1が単調増加であることから、f(0)=1>0となり、 f(p)=0となるpは負の値であり、そもそも1)が成立しないことがわかります。よって 「p=a/b(a,bは互いに素)」と置くことはできません。
2)が必要です。

f(-1)=-1<0であり、 f(p)=0となるpは -1<p<0であることがわかります。
(f(p)が単調増加、f(p)=0のとき-1<p<0、というのは証明しませんがわかりますね?)
後に矛盾に導くためには、制約が多い方がやりやすいですから、pを既約分数で表わすのがよさそうです。

p=-a/b(a,bは正の整数で互いに素、a<b)

右半分はちょっと意味不明です。
最初のa,bと矛盾する、という方向はいいのですが、その方法がうまくいってないようです。
p=-a/bに変えたので、式も変わりますから、式の変形もやりなおしてみましょう

回答No.1

Tacosan

指数が小さくて読みにくいなぁ.

左の段はあってそうだけど, 右の段は意味不明な表現ばっかり.
(a+b), (a^2-ab+b^2) がそれぞれ 0 の場合
ってどんな場合なんだろう. 「少なくとも一方が 0」? それとも「両方とも 0」?

そのあとの「0 ではない場合, それぞれ約分して, ab^2 = 0」に至っては何がなにやらさっぱりわからん. 「それぞれ」って何と何? そして, 何で約分すると ab^2 = 0 になるの?