参考書に問題の答えが載っていません。助けて下さい。

質問

こんにちは。お世話になります。
今使っている参考書に参考問題があるのですが、答えが載っていません。。。
自分でもさんざん考えたのですが、お手上げです。
どなたか教えていただけないでしょうか。
早大の問題で、
「任意の実数に対して
１＋ｋｘ＾２し小なりイコールcosｘを満たすような定数ｋの範囲を求めよ」、です。
よろしくお願いします。
全部で二問なのですが、お願いします。。。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

cos(x) をマクローリン展開すると
cos(x)=1-(1/2)x^2+(1/4!)x^4-(1/6!)x^6+ ...
であるから
k≦-1/2と想像がつく。

f(x)=cos(x)-(1+kx^2)　...(1)
とおいてk≦-1/2のときf(x)≧0を示せばよい。

f(0)=0なので　f(x)≧0となる為には
　x≧0でf'(x)=-sin(x)-2kx≧0 ...(2-1)
　x＜0でf'(x)=-sin(x)-2kx≦0 ...(2-2)
が常に成り立たなければならない。
この為には
f'(0)=0なので　f''(x)=-cos(x)-2k≧0　...(3)
つまり、cos(x)≦-2kが常に成り立たなければならない。
このことから　-2k≧1 ∴k≦-1/2　...(4)
を満たさないといけない。

kが(4)を満たしていれば
f(0)=0かつ
　x≧0でf'(x)=-sin(x)-2kx≧-sin(x)+x≧0
　x＜0でf'(x)=-sin(x)-2kx≦-sin(x)+x≦0
であるから
f(x)はx=0で最小値0をとる。従って
　f(x)=cos(x)-(1+kx^2)≧0 (等号はx=0のとき成り立つ)
つまり、
　1+kx^2≦cos(x) (等号はx=0のとき成り立つ)
が常に成り立つ。
以上から定数kの範囲は(4)の範囲である。

お分りになりましたでしょうか？

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありません。。。
別件の用事でいっぱいいっぱいでした。
すごくわかりました！ありがとうございます。
マクローリン？は大学ですか？
勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

151A48

t=x/2とおいてみると1+kx^2≦cosxは1+4kt^2≦cos2t
1-cos2t≦-4kt^2. 半角公式を使って整理すると
(1/2)(sint/t)^2≦-k　・・・・・＊
｜sint/t｜≦１なので＊が成り立つ必要条件は1/2≦－ｋ
∴k≦-1/2
逆にk≦-1/2のとき
cosx-kx^2-1≧cosx+(1/2)x^2-1
ですからcosx+(1/2)x^2-1≧0をいえばよい。（偶関数なのでx≧0で調べればよい）
g(x)=cosx+(1/2)x^2-1とおくとx≧0で
g''(x)≧0,g'(0)=0よりg'(x)≧0
g'(x)≧0,g(0)=0よりg(x)≧0
がいえて行くと思います。

｜sint/t｜≦1は既知としました。
参考まで。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありません。。。
別件の用事でいっぱいいっぱいでした。
すごくわかりました！ありがとうございます。
先に解答してくださった方をベストアンサーしようと思います。
本当にありがとうございました。