日本は国民皆保険と言って国民は必ず何かの健康保険に加入していなければなりません。
国民健康保険法
（被保険者）第５条 市町村又は特別区（以下単に「市町村」という。）の区域内に住所を有する者は、当該市町村が行う国民健康保険の被保険者とする。
上記のように日本に住民票があればその者はその自治体の国民健康保険の被保険者となるのです。
ただし
国民健康保険法
（適用除外）第６条 前条の規定にかかわらず、次の各号のいずれかに該当する者は、市町村が行う国民健康保険の被保険者としない。
１．健康保険法（大正11年法律第70号）の規定による被保険者。
５．健康保険法の規定による被扶養者。
上記のように会社に就職してそこで健康保険（社会保険）に入って被保険者になっているかその被扶養者になっている場合は適用除外として加入しなくても構わないというだけです。
国民健康保険法
（資格取得の時期）第７条 市町村が行う国民健康保険の被保険者は、当該市町村の区域内に住所を有するに至つた日又は前条各号のいずれにも該当しなくなつた日から、その資格を取得する。
上記のように退職して被保険者や被扶養者の資格を喪失して適用除外でなくなれば、その日から国民健康保険の被保険者となり保険料を支払う義務が生じるということです。
つまり日本に住民票があればその者はその自治体の国民健康保険の被保険者となるのです、ただし会社で被保険者になるかあるいは誰かの被扶養者になっている場合は適用除外として加入しなくても構わないというだけです。
ですが被保険者でなくなったり収入等の扶養の条件を外れた為に被扶養者の資格を喪失して適用除外でなくなれば、その日から国民健康保険の被保険者となり保険料を支払う義務が生じるということです。
＞5/1～5/15までの病院での診察は、健康保険の有効期限は日単位で退社日までなので5/16～5/31まで病院に行かなければ5月分は手続きをせず支払わなくてもよいのですか？
ですから退職した翌日から国民健康保険に加入していることになります、ただ手続を怠って保険料を払っていないだけということになりますので支払う義務はあります。
＞それともこのような事がおきないようどこか調べる機関があるのですか？
そのような機関はありません。
ただし同月得喪と言う例外があります。
同じ月に加入と脱退することを、同月得喪といいます。
この同月得喪は会社での健康保険（任意継続を含む）の場合は保険料が発生しますが、国民健康保険の場合は多くの自治体では保険料は発生しないはずです。
例えば５月１６日被保険者の資格取得で５月３１日脱退（被保険者資格喪失日は翌日の６月１日）の同月得喪ということで市区町村の役所に確認すると、恐らく保険料は発生しないと言われると思います（ただしこれは自治体の条例に依るものなので例外の自治体もあるかもしれませんので必ず確認してください）。
つまり同月得喪の保険料については会社での健康保険では健康保険法で保険料はありと明確に決まっているので確実に発生しますが、国民健康保険法では規定されていないので自治体の条例に依るということです。
少なくとも今まで聞いたことのある自治体で同月得喪の保険料が発生したことは一度もありません、ですが日本全国の自治体を調べたわけではないので、そうでないところがある可能性はゼロではないと言うことです。
