大学１年の数学です。

質問

大学1年の数学です。
提出課題なのですが、どちらもどういう方針でとけばよいのか全く分かりません。
どちらか１つだけでも良いのでよろしくおねがいします。

１、limx→a|f(x)|=|limx→af(x)|を示せ。

２、f,gをともに[0,1]で定義された非負の値をとる連続関数でsupf(x)=supg(x)<+∞とする。
このとき、ｆ（a）=g(a)となるaが[0,1]に存在することを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.3

tmpname

取り敢えずどこまで分かったか、回答下さい。

回答No.2

tmpname

1. については、少なくとも左辺が存在しても右辺が存在しない場合があるから
そのままではダメですね。

例：
実数体Rを定義域とするfで、
f(x) = 1 (xは無理数） -1 (xは有理数）とおく。
lim(x->0) |f(x)|は存在するが、 | lim(x->0) f(x)| は存在しない

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

２のほうの「方針」

・有界な閉区間で定義された連続関数が区間内で最大値を持つことを使う。
・最大値が存在すれば、それは上限であることを使う。
・そうすると、区間内で、f(x) と g(x) の最大値が等しいことがわかる。
・f(c) と g(d) がそれぞれ最大値であると仮定する。
・c = d なら、それが、求める a
・c ≠ d なら f(x) と g(x) の最大値が同じことを利用して、
　f(c) - g(c) と f(d) - g(d) の符号が判明する。
・中間値の定理から、f(a) = g(a) となる a が c と d の間に存在することがわかる。

もしかしたら、最大値の存在とか、中間値の定理とか使ったらまずいのだろうか？