九九なんですけれど…

質問

出典ハジメちゃんの九九から
http://m.mixi.jp/view_diary.pl?owner_id=34798747&id=1825605490&guid=ON
上記URLの内容を下記へコピペ
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問題:自然数6,7,8,9から任意の２数を選ぶ(また,同じ自然数を２回選択することも可)。
その２数の積は,下記の手順で導き出せるのは何故でしょうか？
[ただし,4の段までの乗法は既知のものとして取扱う。]

例1:「８×９」
手順1
８と９から,それぞれ５を引く
[８－５＝３]→[3]
[９－５＝４]→[4]

手順2
左手の指を,3本折り曲げる
右手の指は,4本折り曲げる
…両手で折り曲げた指の本数＝7を「十の位」に入れる。[ａ]

手順3
逆に折り曲げていないの指の本数左手は2本,立っている
右手は1本,立っている
…両手を掛け合わせた答え
2×1＝2を「一の位」に入れる。[ｂ]

手順4
[ａ][ｂ]から
70+2=72

例2:「７×６」
手順1
７と６から,各々５を引く
[７－５＝]→[2]
[６－５＝]→[1]

手順2
左手の指を,2本折り曲げる
右手の指は,1本折り曲げる
…両手で折り曲げた指の本数＝3を「十の位」へ入れる。[ｃ]

手順3
逆に折り曲げていない方の指の本数
左手は3本,立っている
右手は4本,立っている
…両手を掛け合わせた答え
3×4＝12
を覚えておく。[ｄ]

[ｃ][ｄ]から
30+12=42

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

二つの数を５＋ｐ、５＋ｑとすると、両者の積は
（５＋ｐ）（５＋ｑ）＝（５－ｐ）（５－ｑ）＋１０＊ｐｑ
となります。

ｐおよびｑは折り曲げた指の数ですから、
ｐｑは折り曲げた指の数の積であり、それに１０がかかっていることは、ｐｑの値を１０の位に入れることを意味します。また、（５－ｐ）（５－ｑ）は折り曲げなかった指の数の積ですね？

お礼

…解答ありがとうございます
省略された部分を書き出すとこんな感じでしょうか？

左手,右手 各々の折り曲げた
指の本数をp,qとする。
(ただしp,qは自然数1,2,3,4の内のいずれか)
乗算する２数は,
5＋p,5＋qと表せる。
よって２数の積は,

(5+p)(5+q)
=25+5(p+q)+pq
=25+10(p+q)-5(p+q)+pq
=10(p+q)+{25-5(p+q)+pq}
=10(p+q)+(5-p)(5-q)

ここで
(p+q)
=「折り曲げた指の合計本数」

(5-p)(5-q)
=「両手の立っている指の積」

3/1 00時26分

補足

no.1様と迷います

回答No.1

asuncion

6以上の数をm,nとします。

手順1：
m-5とn-5を求めています。

手順2：
m+n-10を、積の十の位としています。

手順3：
(5-m+5)×(5-n+5)
=(10-m)×(10-n)
=100-10(m+n)+mnを積の一の位（繰り上がりがあり得る）としています。

手順2で求めたのは積の十の位ですから、実際の値はその10倍、
10m+10n-100=10(m+n)-100です。
手順2+手順3
=10(m+n)-100+100-10(m+n)+mn
=mn
となり、見事にmとnの積が求まりました。

お礼

解答ありがとうございます
6～9の２つの自然数を各々
m,nとおく。

まずm、nから,各々５を引いて
m-5,n-5本の指を折る。
これを足すと

(m-5)+(n-5)=m+n-10
これが╋の位に入るから10倍して
10(m+n-10)=10(m+n)-100…[1]

次に立っている指は各々
5-(m-5)=10-m
5-(n-5)=10-n

これの積
(10-m)(10-n)
=100-10(m+n)+mn…[2]

[1]と[2]の合計
10(m+n)-100・・・・・[1]
100-10(m+n)+mn・・[2](╋
━━━━━━━━━━━
．　　　　　mn

3/1 00時45分

補足

no.2様と迷います。

3/1 00時52分