2次不等式の解き方について

質問

質問ばかりして申し訳ありません。
2次不等式 x^2-3x<18で
X^2-3x-18<0 で (x-6)(x+3)まで 展開しました。 ここから先の考え方が分からず困っております。
どなたか、解説いただけないでしょうか？
回答は-3<x<6となっています。
なぜ 符号が変わるのでしょうか？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｙ＝ｘ＾２－３ｘ－１８　のグラフを考えてみましょうか。
これは下に凸の放物線になり、
ｙ＝（ｘ－６）（ｘ＋３）＝０　とおいた場合ｘ＝６、－３なので、このグラフとｘ軸の交点は
（６，０）および（－３，０）になります。ということは、ｘが－３から６の間、このグラフはｘ軸よりも下（ｙ座標が負の値）にあるということです。実際にグラフを書いて考えてみて下さい。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

tsuyoshi2004

まずは、
x^2-3x<18
を見て、x=∞やx=-∞は該当しないことと、X=0は該当することは瞬時に見抜けますね？

そうすると、あとはその該当するところと該当しないところの境目を見抜けばいいことです。
それはもちろん、
x^2-3x-18=0
が成立するxです。
x^2-3x-18=0の解は
x=-3,6
ですね？
従ってｍ
-3<x<6
が答えです。

ちなみに
x^2-3x-18=(x-6)(x+3)=0
の解が
X=-3,6
になる理由は、
ab=0の条件は、a=0またはb=0です。（もちろん、a=b=0も含みます。）
(x-6)(x+3)=0
ということは、
(x-6)=0または(x+3)=0のどちらかなので、
x=-3,6
となります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

cycloneMAT

まず　X^2-3X-18＜0 から　(X-6)(X+3)の答えを出すにあたって

通常　X^2-3X-18=0と仮定して解いてるはずです

では　この時　因数分解をすると

(X-6)(X+3)=0になりますよね

この式が表すのは　X=？の時に　答えが0になるのかです

この式の場合　Xに6を代入したとき　0×9=0

Xに-3を代入したとき　-9×0=0

なので　X=6,-3となります

そして　＜0の時は　？＜X＜？の形

　　　　＞0の時は　X＜？,？＜X の形になります　　　（両方とも、イコールが付くときは付ける）

よって

-3＜X＜6　となるわけです

また　基本的に　二次不等式が分かりにくいのなら　二次関数のグラフで考えてもいいでしょう

今回の場合　

f(x)=x^2-3x-18として考え　　

x軸との交点が（つまり方程式＝0の時のこと）　ｘ＝6、-3とわかるので

＜0　つまり　x軸より下の部分の存在する範囲を求めればいいので

-3＜X＜6　とも考えられます

もちろん　＞0　ならば　x軸よりも上に存在する範囲　として求めないといけませんよ

以上　わたくしの解説でした　分かりにくかったら　すみません

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

WiredLogic

考え方・やり方は２通りあるので、できるだけどちらもできるようにしてください。

1. x-6=0 ⇔ x = 6, x+3 = 0 ⇔ x = -3、なので、x=6の前後、x=-3の前後で符号が変わります。
(これは「なぜ符号が変わるのでしょうか？」の回答にもなっているはずです)
そこで、次のような表を書きます。
| x |x<-3|x=-3|-3<x<6|x=6|x>6|
| x-6 | - | - | - | 0 | + |
| x+3 | - | 0 | + | + | + |
|(x-6)(x+3)| + | 0 | - | 0 | + |
表から、(x-6)(x+3)＜0 (マイナス) となるのは、-3<x<6 のところだけなので、それが答になります。

2. y=(x-6)(x+3) のグラフを描きます。x=6,x=-3を入れると、y=0なので、
(6,0),(-3,0)でｙ軸と交わる、下に凸の放物線になります。
y=(x-6)(x+3)＜0 つまり、ｙ＜0、グラフがy軸より下に来るのは、
、-3<x<6 のところだけなので、それが答になります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

asuncion

y=x²-3x-18
のグラフを考えます。
右辺は(x+3)(x-6)と因数分解できます。質問者さんの投稿のとおりです。
x軸との交点を求めるためにy=0とおきます。x=-3,6となります。
x²-3x-18の2次の項が正ですので、このグラフは下に凸です。
つまり、yの値が正である状態から、x=-3でx軸と交わり、しばらくはyの値が負である状態が続きます。
次にx軸と交わるのはx=6のときで、その後はyの値は再び正となります。
つまり、
x²-3x-18=(x+3)(x-6)の値が負となるのは、xが-3～6の間である（ちょうど-3や6の場合を除く）、
ということになり、
-3<x<6
という解を得ます。

お礼

ありがとうございました。