材料力学 門型ラーメン 3種類の変位の解法

質問

ヤング率E、断面二次モーメントがIの門型ラーメンCABDで
ABの中点Gに荷重PがかかってるときのGの変位なんですが、
(1)Cがピンで固定、Dがピンで固定されてローラーがついている場合
(2)C,Dがピンで固定されている場合
(3)C,Dが完全に床に固定されている場合
の三種類があるんですが、求め方がわかりません。
(1)のときは単純支持はりと同じようにで解くとおもうのですが
(2)、(3)のとき、水平方向に反力、モーメントが働いたときがわかりません。

解説お願いします。

回答No.1

noname#221368

構造系の解析を手計算で行う場合の基本は、次です。

　　(a)支点反力（Ｃ，Ｄが地盤から受ける力）を、最初に求める。
　　(b)支点から出発して、支点につながる部材から、順次部材力を求める。
　　(c)求まった部材力から、部材の変形を算定し、変位を求める。

　(1)，(2)，(3)いずれについても(a)さえ出来れば、(b)と(c)は自ずとついてくる、というのは理解なさっているでしょうか？。という訳で、手計算の場合は(a)が重要です。

　構造系全体の力の釣り合い（水平方向の合力０，鉛直方向の合力０，力のモーメントの合力０の3条件）から、支点反力を決めれる場合を、静定構造と言います。これが(1)です。

　(1)の支点反力は、Ｃ点における水平，鉛直反力と、Ｄ点における鉛直反力の3個のみで、構造系全体の3個の力の釣り合い条件だけで、それらを算定できます。それらの反力は、構造系全体の力の釣り合い条件のみで決まるので、材料特性（Ｅ）や部材特性（断面性能Ｉ）とは無関係に定まります。力の釣り合い条件とは、静力学の基本です。ここから「静定」という言い方が生まれたのだと思います。

　いったん支点反力が求まれば、後は曲げモーメント図を書いて部材力を算定し（ラーメンでは大抵、曲げしか考えません）、(b)と(c)を実行します。

　構造系全体の力の釣り合い条件のみで、支点反力が定まらない構造系を、「不静定」と言います。不静定＝動的では「ない」ところが、この用語の問題点ですが、これは歴史的に決まった事です。

　「不静定」構造物であろうと、力の釣り合い条件は全て満たします。ただしそれだけでは、支点反力の解が一つに定まらず、力の釣り合い条件だけでは、支点反力の解が不定解になる場合を指します。これが「不静定」の云われだろうと思います。実際、(2)の支点反力の成分は4個，(3)の支点反力の成分は6個で、構造系全体の力の釣り合い条件数3を越えています。

　「不静定」構造物の場合には、材料特性（Ｅ）や部材特性（断面性能Ｉ）まで考慮しないと、支点反力は一つに決まりません。この場合の解法には、概ね4つあります。

　　(d)梁の微分方程式。
　　(e)たわみ角法。
　　(f)最小働の原理（カスティリアノの定理）。
　　(g)仮想働の原理（変分原理）。

　(d)～(f)はいずれも同等なものですが、(d)，(e)をコンピューターに便利なように整備したのが、いわゆるフレーム計算（骨組解析，有限要素法）と言われるものです。(e)は手計算向きでもあり、(f)，(g)は完全に手計算向きです。(f)と(g)では、最初に支点反力を求める事ができ、静定構造の処理が、そのまま使えます。

　ラーメンの場合、お奨めは(g)ですが、その際には「マックスウェル・ベティーの相反定理」も是非調べて下さい。これは(g)の理解に欠かせないものと思えます。

　以上、けっこう書きましたが、(2)，(3)を扱うためには、それなりの「構造力学」の参考書なり解説書が必要です。物理の本に同等の説明は載っているかも知れませんが、「実用向きではありません」。