＃３です。
＞親権が相手の方にあれば、強制的に引き取る必要がないということでしょうか
親権は親の権利、つまり子供に代わって法的行為を行う権利のことであって、引き取る云々関係ありません。親権だけ持って、監護権つまり引き取る権利を相手に譲る場合だってあるんですよ。
外国だと離婚した父母両方が共同親権を持つのが普通ですが、それだと子に代わって法的行為を行うのにいちいち相手の同意が必要です。個人で顧問弁護士を持っているような欧米ならそれでいいでしょうが、日本ではそれは大変な不便を伴います。だから日本では単独親権と言って、離婚時にどちらかの親を親権者として定めるのです。
親の権利とは別に、父母には親の義務があります。それは離婚しようが親権を相手が持とうが、代わらずあなたにもあるんです。だって父子や母子関係は一生なくなることはないんですからね（６歳未満の特別養子縁組を除く）。あなた、養育費払ってないんですか？だから親の義務があることをすっかり忘れてるんでしょう。あなたが養育費を払わずに済んでいるのは、相手が子供の当然の権利を主張する親権の行使をさぼっているだけです。
親権を持つ相手が死亡した場合、親権は自動的には移動しません。そのまま放置すれば親権を行う者なく子は成人してしまうだけです。本来は未成年が買い物一つするんだって、親権者の同意が必要なんですよ。でもそれをいちいちやっていたんでは不便だから、現金払いならば親権者の承諾があったものとしましょう、ということで世の商取引行為は滞りなく進んでいるんです。携帯電話契約だって、きっと子は勝手に親の同意書を書いて契約しちゃうでしょう。違法ですが誰も文句を言わないのでそのまま通ってしまいます。
でも本来はね、親の義務を持つあなたが、親権者が死亡したための新しい親権者を定めるための申し立てを、家庭裁判所にしなくてはいけないんですよ。それが親の義務です。もちろんあなたでもいいですし、同居していた相手方の祖父母でもいいですし、相手の再婚相手でもいいです。どうしてもとなれば施設に預けるのも致仕方ないでしょう。どうもあなたは親の義務も放り出して親権も持ちたくないようですが、未成年の子の生活が成り立つようにするのは、相手の死亡によって唯一の親になったあなたの、最低限の義務ですからね。
＞戸籍が私にあるとないでは、何が違ってきますか
子戸籍があなたにあれば子はあなたの氏で本籍です。
たとえ離婚した相手が「離婚の際に称していた氏を称する届」を出してあなたと同じ姓を名乗っていようが、それは別の氏（＝戸籍上の姓）です。
子の戸籍があなたにあれば、親権者である相手が子の戸籍謄本を取得できます。そこにはもれなく筆頭者であるあなたの戸籍もついてきます。戸籍の附票を取れば現住所も載っています。つまり、あなたの戸籍・住民票情報が相手に筒抜けってことです。
他は何にも違いません。親子間の相続・扶養・祭祀の義務権利も、親権を持っているかどうかや、戸籍が同じか別かで変わるものじゃないんですよ。
＞戸籍はどちらにいっているのか見るのは、謄本のどの部分を見ればよいでしょうか？
現在の戸籍全部記載事項証明書ではばってんは書かれません。子の戸籍の「戸籍に記録されている者」というところに「除籍」と書いていなければ、あなたのところにあります。「除籍」としてあって、相手の戸籍に入籍云々と書かれていれば、相手の戸籍に移っています。
補足
ありがとううございます。 戸籍は、私にあると言われました。 親権は、相手にあることが確認できました、 戸籍が私にあるとないでは、何が違ってきますか いろいろ教えて下さいませ