外積の定義

質問

私は外積は３次元ベクトルに対してのみ
定義されるものだと思っていました。
が、最近ネット上では他の次元に対する外積
という言葉もちらほら見かけます。

つきましては、３次元以外の外積が一般的かどうか。もし、一般的ならばその定義はどうなっているか
教えて下さい。

回答No.1

shige_70

Ｒ^3上で2つのベクトルに直交するのが外積ですが、一般化すると、Ｒ^nの場合、nー1個のベクトルに直行するのが外積になります。
4次元以上でも当然直交と言う概念はありますからね。

正確な定義は、
∀x_1,x_2,...,x_n-1∈Ｒ^n、∃y∈Ｒ^n; (y,v)=det(x_1,x_2,...,x_n-1,v) (v∈Ｒ^n)
となっており、yがx_1,x_2,...,x_n-1の外積です。

お礼

解答有り難う御座います。実は、#2で紹介された質問の
解答で言及されていたspivakの多変数解析学をたまたま
持っていたので、今めくっているところです。
で、これによると、御回答は実は外積でなくてベクトル積
の定義ですね。
私も、外積とベクトル積が違うということが
あまり分かってなかったのですが。でも、３次元ベクトルに対しては一致するようですが。