ベジェ曲線とファーガソン曲線

質問

ベジェ曲線とファーガソン曲線が同じ曲線になることを
３次で証明するのはどうすればいいのでしょうか。
式で示せばよいそうなのですが・・

回答No.1

tomochin630 · ベストアンサー

ファガーソン曲線は、始点X0、終点X1、初速度V0、終速度V1の４つのベクトルによって定まる曲線で、
パラメータtを用いて曲線の位置をP(t)で表したとき、

　(1)P(0)=X0
　(2)P(1)=X1
　(3)dP(0)/dt=V0
　(4)dP(1)/dt=V1

を満たす事が条件となります。
従って３次のペジェ曲線に対して(1)(2)(3)(4)を満たす事を示せば良い事になります。

３次のペジェ曲線は、４つのベクトルB0、B1、B2、B3によって次の様に定義されます。

　P(t) = B3・t^3+B2・3t^2(1-t)+B1・3t(1-t)^2+B0・(1-t)^3

これをtで微分すると、

　dP(t)/dt = B3・3t^2+B2・3t(2-3t)+B1・3(3t-1)(t-1)-B0・3(1-t)^2

となります。従って、(1)(2)(3)(4)は、

　P(0)=B0
　P(1)=B3
　dP(0)/dt=3(B1-B0)
　dP(1)/dt=3(B3-B2)

と表され、始点=B0、終点=B3、初速度=3(B1-B0)、終速度=3(B3-B2)のファガーソン曲線となります。