夏休みの宿題です。

質問

夏休みの宿題です。

問題：
ある容器に濃度25%のアルコール溶液がAリットル入っている今、この溶液からコップ1杯のアルコール溶液を取り出して、コップ2杯の水を入れる。さらにここからコップ2杯のアルコール溶液を取り出して、コップ2杯の水を入れたところ、溶液のアルコール濃度は9%になった。この時のコップ一杯の容量は何リットルになるか。

という問題の解答には

1杯取り出して、水2杯いれたとき
取り出した時の残りは(A-x)リットル、水を加えたあとの容量は(A+x)リットル　より

(25/100)*(A-x)/(A+x) %　となり

アルコール2杯取り出して、水2杯いれた時には
(25/100)*{(A-x)/(A+x)}^2 = 9%

{(A-x)/(A+x)}^2 = 9/25

x=1/4A

という答えになるそうですが

なぜ最初の1杯取り出して、2杯入れると
(A-x)/(A+x)になるのですか？

2杯取り出して、2杯入れるのが、{(A-x)/(A+x)}^2　となるなら

1杯取り出して、2杯入れるのは
{(A-x)/(A+2x)}　には、どうしてならないのですか？

ご教授よろしくお願いします。

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

問題を正確に理解していないようですね。

2杯取り出して水2杯入れるのは、1杯取り出して水2杯入れたあとですよ。

最初　　量Aリットル、濃度25/100

1杯取り出す　　量(A-x)リットル、濃度25/100

水2杯入れる　　量(A+x)リットル、濃度(A-x)*25/100/(A+x)

　　この濃度は、１つ前の時点での量と濃度を書けたものが分子、今の量が分母になっています。

2杯取り出す　　量(A-x)リットル、濃度(A-x)*25/100/(A+x)

水2杯入れる　　量(A+x)リットル、(A-x)(A-x)*25/100/(A+x)/(A+x)

　　この濃度も、１つ前の時点での量と濃度を書けたものが分子、今の量が分母になっています。
　　この濃度の式をまとめると、25/100*{(A-x)/(A+x)}^2

>(A-x)/(A+x)に対して、全体の量は変化なし、アルコール濃度だけ1杯分のx減ると言う考え方より、(A-x-x)/(A+x+x-x) = (A-2x)/(A+x)　にはならないのでしょうか？

「全体の量は変化なし、アルコール濃度だけ1杯分のx減ると言う考え方」とのことですが、(A-x-x)　この式は、何を意味しているのでしょうか？
アルコール濃度とは全然関係のない式ですが。

回答No.2

nattocurry

(25/100)*(A-x)/(A+x)
これは、１杯取り出して、水２杯いれたときの、アルコール濃度ですが、これは％値ではありません。
％をつけるなら、
(25/100)*(A-x)/(A+x)*100%
とすべきです。

さて、１杯取り出して、水２杯入れたときの濃度は、
溶液中のアルコール量÷溶液全体の量
で求めることができます。

溶液全体の量は、
何もしていないときは、A
１杯取り出したときは、A-x
水２杯入れたときは、A-x+2x=A+x
です。

アルコール量は、
何もしていないときは、A*25/100
１杯取り出したときは、(A-x)*25/100
水２杯入れても、アルコール量は変わらないので、(A-x)*25/100
です。

溶液中のアルコール量÷溶液全体の量
＝(A-x)*25/100/(A+x)
＝25/100*(A-x)/(A+x)

> 2杯取り出して、2杯入れるのが、{(A-x)/(A+x)}^2　となるなら

なぜ、そのあとのことを例に出して考えるのでしょうか？
そのあと、２杯取り出して２杯入れようが、たとえ３杯取り出して３杯入れようが、最初に１杯取り出して、水２杯入れたときの濃度は、25/100*(A-x)/(A+x) に変わりはありません。

おかしいと思うなら、{(A-x)/(A+x)}^2　のほうを疑うべきです。
順番が逆です。

そもそも、{(A-x)/(A+x)}^2 がなぜそうなるのかは、理解できているのでしょうか？
理解できていませんよね？

お礼

回答ありがとうございます。
仰る通り、{(A-x)/(A+x)}^2は理解できておりません。

アルコールの濃度 / 全体の量　であるのであれば、
アルコール溶液から2杯取り出して、水2杯入れるのであれば、全体の量は変わらないのに、アルコールの量は取り出した分は減らないのですか？

アルコールの濃度は取り出した分減ってるので
1杯取り出して 1杯入れる場合は

(A-x)/(A+x)に対して、全体の量は変化なし、アルコール濃度だけ1杯分のx減ると言う考え方より、(A-x-x)/(A+x+x-x) = (A-2x)/(A+x)　にはならないのでしょうか？

溶液中のアルコール量÷溶液全体の量　であることから、

>> そのあと、２杯取り出して２杯入れようが、たとえ３杯取り出して３杯入れようが、最初に１杯取り出して、水２杯入れたときの濃度は、25/100*(A-x)/(A+x) に変わりはありません。

自分の中では2杯、3杯…と繰り返せば繰り返すほどアルコール濃度が減少していくように思えて上記の流れに結び付けれません。お手数ですがご教授頂けると幸いです。

回答No.1

砲術長（@houjutucho）

[{Ａ-ｘ}/{Ａ-ｘ+２ｘ}]=[{Ａ-ｘ}/{Ａ+(２-１)ｘ}]＝[{Ａ-ｘ}/{Ａ+ｘ}]だからです。