「xは品物AとBとCを合計15200円で、AとBとCの個数の比が4:3

質問

「xは品物AとBとCを合計15200円で、AとBとCの個数の比が4:3:1となるように買う予定であった。ところが、Aは定価の2割5分引き、Bは定価の2割引きにしていたため、11780円ですむことが分かった。さらに店主と交渉したところ、Aは１個あたり８円、Bは１個当たり５円値引きしてくれたため、10000円支払って500円未満のおつりがきた。ただし、売値はすべて整数で、消費税は考えないものとする。このとき、A、B、Cを合わせて何個買ったか。」

回答は304個になるのですが、うまいやり方が思い浮かびません。
どなたか解説してもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

Ｃの個数をｎ、Ａ～Ｃの定価をそれぞれａ～ｃとすると、元の予定は
４ｎａ＋３ｎｂ＋ｎｃ＝１５２００
であり、値引き後の状態は
３ｎａ＋２．４ｎｂ＋ｎｃ＝１１７８０
と表わすことが出来ます。
一番目の式から二番目の式を辺々引くと
ｎａ＋０．６ｎｂ＝ｎ（ａ＋０．６ｂ）
　　　　　　　　＝３４２０・・・（１）
となります。
　一方Ａが８円引き、Ｂが５円引きになったことによる値引き額は
４ｎ＊８＋３ｎ＊５＝４７ｎ
になりますが、金額としては１７８０円より大きく、２２８０円より小さいことになります。従って
１７８０＜４７ｎ＜２２８０
となりますが、ｎは整数なので
３８＜ｎ＜４８になります。ここで（１）式をみると、ｎは３４２０の約数であることが判ります。３４２０は
２＾２＊３＾２＊５＊１９
と分解できますが、これらの素因数の組み合わせで３８＜ｎ＜４８となるのは３８のみです。
　よって合計の個数は３８＊８＝３０４個となります。

回答No.3

mizuwa

参考です。

?正の整数{a，b，c，k}を使って以下のように表します
(1){予定価格，割引後，値引後}を【売値はすべて正の整数であるので】
　品物Ａは【2割5分引きして、8円引くことを考えて】
　　(4a＋8)円，(3a＋6)円，(3a－2)円
　品物Ｂは【2割引きして、5円引くことを考えて】
　　(5b＋5)円，(4b＋4)円，(4b－1)円
　品物Ｃは【割引・値引が無いので】
　　一定で、c円
(2)品物(Ａ，Ｂ，Ｃ)を買う個数の比が4:3:1から
　品物Ａ(4k)個，品物Ｂ(3k)個，品物Ｃ(k)個で、合計(8k)個

?条件を式で表し整理します。
(1)予定通り買うと15200円から、4k(4a＋8)＋3k(5b＋5)＋kc＝15200　で、
　　k(16a＋15b＋c＋47)＝15200
(2)割引で買うと11780円から、4k(3a＋6)＋3k(4b＋4)＋kc＝11780　で、
　　k(12a＋12b＋c＋36)＝11780
(3)さらに値引きをすると10000円支払って500円未満のおつりから
　　9501≦4k(3a－2)＋3k(4b－1)＋kc≦9999
　　9501≦k(12a＋12b＋c－11)≦9999

?作った式からkを考えます
(1)?の(3)を変形し?の(2)を代入し、整数kの範囲を考える
　　9501≦11780－47k≦9999
　　1781/47≦k≦2279/47
　　　k{38，39，40，41，42，43，44，45，46，47，48}
(2)?の(1)(2)よりkは15200と11780の最大公約数{(2^2)＊(5)＊(19)}
　　　k{1，2，4，5，10，19，20，38，76，85，190，380}
よって、k＝38　となり、合計個数{38＊8＝304個}

?【???から、確認を兼ねて金額を考えて見ました】
　k＝38から、(a，b，c)＝(13，9，10)，(16，5，12)，(19，1，34)
買う個数が、品物Ａ(152個)，品物Ｂ(114個)，品物Ｃ(38個)
(1)(a，b，c)＝(13，9，10)のとき
　予定価格{品物Ａ(60円)，品物Ｂ(50円)，品物Ｃ(10円)}で15200円
　割引後{品物Ａ(45円)，品物Ｂ(40円)，品物Ｃ(10円)}で11780円
　値引後{品物Ａ(37円)，品物Ｂ(35円)，品物Ｃ(10円)}で9994円(おつり6円)
(2)(a，b，c)＝(13，9，10)のとき
　予定価格{品物Ａ(72円)，品物Ｂ(30円)，品物Ｃ(22円)}で15200円
　割引後{品物Ａ(54円)，品物Ｂ(24円)，品物Ｃ(22円)}で11780円
　値引後{品物Ａ(46円)，品物Ｂ(19円)，品物Ｃ(22円)}で9994円(おつり6円)
(3)(a，b，c)＝(19，1，34)のとき
　予定価格{品物Ａ(84円)，品物Ｂ(10円)，品物Ｃ(34円)}で15200円
　割引後{品物Ａ(63円)，品物Ｂ(8円)，品物Ｃ(34円)}で11780円
　値引後{品物Ａ(55円)，品物Ｂ(3円)，品物Ｃ(34円)}で9994円(おつり6円)

回答No.1

LOHA

どちらにしろそれなりに面倒ですね。

各商品の定価をa, b, c、個数を4K, 3K, Kとすれば、割引時の値段はそれぞれ3a/4, 4b/5, K、さらに割引時の値段は3a/4-8, 4b/5-5, Kとなる。

で条件に当てはめれば、

1. K(4a + 3b + c) = 15200
2. K(3a + 12b/5 + c) = 11780
3. K((3a/4-8)*4 + (4b/5-5)*3 + c) = S (9500 < S < 10000)

2, 3より
1780/47 < K < 2280/47　→　38 <= K <= 48

ここで、2式の両辺に5/Kを掛けておくと右辺は11780*5/Kで、これが整数になるはず。
11780*5 = 2^2 * 5^2 * 19 * 31
このうち、Kの範囲を満たすのは19*2のみ。よってK=38。

よって、買った総数はK(4+3+1) = 304

こんな感じでどうでしょう。
（論理にヌケ無いことを祈ります。。。あったらすみません）