数学 微積

質問

Aとσは０＜σ＜Aを満たす実数とする。
このとき
limσ→+０∫(cosx/x)dx（積分範囲：σ～２σ）
を求めよ。

という問題が分かりません。どなたかお願いします。

回答No.1

info22

∫(cosx/x)dxは余弦積分関数といって解析的には解けません。
特殊関数(超越関数)Ci(x)で定義された関数なので定積分の数値計算なら積分できます。

数式処理ソフトで積分して極限をとって収束値を求めたところ
ln(2)
(ここでlnは自然対数)
と求まりました。

手計算で計算するには
厳密ではないが
被積分関数をローラン(級数)展開して
f(x)=cos(x)/x=Σ[0,∞][{(-1)^n}/(2n)!]x^(2n-1)
=(1/x)+Σ[1,∞][{(-1)^n}/(2n)!]x^(2n-1)
F(x)=∫f(x)dx=ln(x)+(Σ[1,∞][{(-1)^n}/{2n(2n)!}]x^(2n)) +C (x>0)
∫[σ,2σ] f(x)dx=ln(2σ/σ)
+Σ[1,∞][{(-1)^n}/{2n(2n)!}]{σ^(2n)}{2^(2n)-1}
=ln(2)+Σ[1,∞][{(-1)^n}{2^(2n)-1}/{2n(2n)!}]{σ^(2n)}

n→∞で　Σ[1,∞][{(-1)^n}{2^(2n)-1}/{2n(2n)!}]{σ^(2n)}→0なので
lim[n→∞]∫[σ,2σ] f(x)dx=ln(2)
と収束値が得られる。

(参考)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/appendices/criteria.htm

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。
勉強になりました。