着弾後の水の高さの算出方法

質問

直径10cmの球の形をした水滴があります。これを紙に着弾させ、直径20cmの円筒形に水滴は変形しました。また時間と共にこの円筒形は、球形(ドーム状)に変化しました。この球形(ドーム状)の直径は円筒形と同じ直径20cmです。この時の円筒形、球形(ドーム状)の水の高さを教えてください。また、水滴の落下速度、水の表面張力、水滴が紙に染み込むといった事などは考えません。よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman

ずいぶんと変わったご質問ですが、水滴だの着弾だの落下速度だのは（物理的にありえない話ですから）ただのお飾りであって、要するに

「半径r=5cmの球の体積をVとする。
(1) 体積V、半径R=10cmの円柱の高さhは？
(2) 体積V、半径R=10cmのドームの高さHは？
（ただし「ドーム」とは、半球を底面と垂直の方向に(H/R)倍に引き延ばしたもの）」

というだけのご質問じゃないんでしょうか。

　球の体積は
V=(4π/3)(r^3)
であり、（ただしr^3とは「rの3乗」のこと。πは円周率）
円柱の体積は
V=π(R^2)h
ドームの体積は
V=(H/(2R))(4π/3)(R^3)
また
R=2r
ですから、
h = V/(π(R^2)) = V/(4π(r^2)) = (4π/3)(r^3)/(4π(r^2)) = r/3 = 5/3 cm
H = 2RV/((4π/3)(R^3)) = 2RV/(8(4π/3)(r^3)) = RV/(4V) = R/4 = 5/2 cm
でやんす。

回答No.2

info22

水滴の体積Vは
V=(4/3)π*(10/2)^3=(500/3)π [cm^3]…(◆)
これが直径20cm、高さhの円柱に変形すれば
V=π(20/2)^2×h=100πh=(500/3)π[cm^3]
∴h=5/3[cm]

これが直径20cm、高さd の球形ドーム状に変形したときの球の半径R,
ドームの高さHとすればドームの体積Vは次式で計算できる。
V=π∫[R-H,R](R^2-x^2)dx=(π/3)(3R-H)H^2 …(■)
水滴の体積Vは形状が変わっても同じなので(◆),(■)から
(3R-H)H^2=500　…(▼)
また、R^2=10^2+(R-H)^2 …(●)
(▼)と(●)を R, H の連立方程式として、実数解の組を求めると
R≒17.13[cm],　H≒3.22[cm]
となりました。

なお、上の結果が合っているかは自分で計算をして確認して下さい。

回答No.1

draft4

水の表面張力を考えないのであれば、水は丸くなりませんから高さなんて計算できません。もちろん落下速度も考慮しないならばです