高校入試の問題

質問

考えたのですがギブアップです。教えてください！！

問題
ジュースの空き缶７個をもっていくと、中身の
入った缶ジュース１個に交換してくれる店があります。
この店にジュースの空き缶を何個か持って行って
交換する事を考える。ただし、中身の入ったジュースは必ず
飲んで空き缶とし、空き缶は缶ジュースに交換できなくなるまで
交換するものとする。なお、このきまりでは最初にある
ジュースの空き缶の個数が同じならば、どのように交換しても
飲めるジュースの個数は同じになり、最後に残る空き缶の数も
同じになる。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)最初にジュースが370個あるとき、飲めるジュースの
個数と残る空き缶の個数を求めなさい。
(2)ジュースがちょうど43個飲めるには、最初に
ジュースの空き缶が何個あればよいか。
(3)この店では、サービス期間中は空き缶6個で、中身の
入った缶ジュース1個に交換してくれる。サービス期間中以外
にすべてを交換したのでは、飲めるジュースの個数を
比べると50個の差があり、最後に残る空き缶の数を比べると
サービス期間中のそれは、サービス期間中以外と比べると
それの3倍になる。最初のジュースの空き缶の個数を求めなさい。

(1)と(2)はとけましたが。(3)だけどうしても
わかりませんでした。

回答No.1

Rice-Etude · ベストアンサー

まず残った個数ですが、期間中なら3個、期間外なら1個です。これ以外だと必ずどちらかがさらにもう一回以上はジュースと交換できるため、ありえないからです。

次に期間中の3個の空き缶を作るためにはその前がどうなっているかを考えます。1個の空き缶を作るためには、6個の空き缶ができます。よって
3-1+6=8個
の空き缶があります。その8個ができる前は同様に
8-1+6=13個
の空き缶があります。このように、直前の状態は必ず5個多い状態です。すなわち、最後の状態を初項として、公差5の等差数列として缶の個数を表すことができます。よって、スタート時の缶の個数はある整数nを使って
3+(n-1)5
トータルで飲んだ個数は、1回さかのぼることに6本飲んでいるので
3+(n-1)6
となります。

同様に期間外を考えると、スタート時の缶の個数はある整数mを使って
1+(m-1)6
トータルで飲んだ個数は
1+(m-1)7
となります。

スタート時の缶の個数は同数、飲んだ個数は期間内の方が50個多いので
3+(n-1)5=1+(m-1)6
3+(n-1)6=1+(m-1)7+50
の二つの式が出ます。あとは連立方程式として解けば
n=303、m=253
よって最初の個数は
3+(303-1)5=1513
または
1+(253-1)6=1513
より、最初のジュースの空き缶は1513個となります。