組み合わせ，確率，期待値に関する数学の質問です

質問

A,Bの2人がレストランに来ました．メニューが17種類(1,...,17)あります．

A,Bの両者は，互いが何を選択するのか知らないまま，各自4つの料理を選択します．

この場合，両者のメニューに重なりが生じる確率と，重なりの期待値は，いくらになりますか．

わたしの基本的な考え方はこうです．

まず，A,B両者の選択肢は17C4 = 2,380通りあるが，Aの選択を(1,2,3,4)として一般性に問題はない．

4つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3,4)を選択する場合なので，1通り．

3つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3)を選択する場合に15通り，(1,2,4)を選択する場合に15通り...つまり，4C3 x 13C1 = (4x3x2/3x2x1) x 13 = 52通り．

2つ重なりが生じる場合は，同様に，4C2 x 13C2 = 468通り．

1つ重なりが生じる場合は，同様に，4C1 x 13C3 = 1,144通り．

したがって，重なりが生じる確率は，(1+52+468+1,144)/2,380 = 69.96%で，期待値は，(1x4 + 52x3 + 468x2 + 1144)/2,380 = 0.94となる．

この考え方でよいでしょうか．

また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか?

文系の私には少々酷な思考実験なのですが，ボスに考えさせられております．

回答No.3

sanori

こんにちは。

確率の計算においては、コンビネーションを用いるのが怖いので、
最小限使うようにして計算してみました。

４つ重なる確率は、
4Ｃ4　×　４／１７×３／１６×２／１５×１／１４　
　＝　4Ｃ4　×　（４×３×２×１）／17Ｐ4

３つ重なる確率は、
4Ｃ3　×　４／１７×３／１６×２／１５　×　１３／１４
　＝　4Ｃ3　×　（４×３×２）×１３／17Ｐ4

２つ重なる確率は、
4Ｃ2　×　４／１７×３／１６　×　１３／１５×１２／１４
　＝　4Ｃ2　×　（４×３）×（１３×１２）／17Ｐ4

１つ重なる確率は、
4Ｃ1　×　４／１７　×　１３／１６×１２／１５×１１／１４
　＝　4Ｃ1　×　４×（１３×１２×１１）／17Ｐ4

まったく重ならない確率は、
4Ｃ0　×　１３／１７×１２／１６×１１／１５×１０／１４
　＝　4Ｃ0　×　（１３×１２×１１×１０）／17Ｐ4

以上の５つを分子だけ足し算すると、

4Ｃ4　×　（４×３×２×１）
　＋　4Ｃ3　×　（４×３×２）×１３
　　＋　4Ｃ2　×　（４×３）×（１３×１２）
　　　＋　4Ｃ1　×　４×（１３×１２×１１）
　　　　＋　4Ｃ0　×　（１３×１２×１１×１０）
＝　１　×　（４×３×２×１）
　　　＋　４　×　（４×３×２）×１３
　　　　＋　６　×　（４×３）×（１３×１２）
　　　　　＋　４　×　４×（１３×１２×１１）
　　　　　　＋　１　×　（１３×１２×１１×１０）
＝　２４
　　　＋　１２４８
　　　　＋　１１２３２
　　　　　＋　２７４５６
　　　　　　＋　１７１６０
＝　５７１２０

一方、分母は、
１７×１６×１５×１４　＝　５７１２０

合いました。

重なりが生じる確率　＝　１　－　１７１６０／（１７×１６×１５×１４）
　＝　０．６９９６

質問者様の結果と合いました。

期待値は、
（２４×４　＋　１２４８×３　＋　１１２３２×２　＋　２７４５６　×　１）／（１７×１６×１５×１４）
　＝　0.941176471

質問者様の結果と合いました。

＞＞＞また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか?

ちょっと考えてみましたが、ギブアップです。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

kenjoko

No.１です

この考え方でよいでしょうか．

よいと思われます

重なりが０の場合が抜けていますね　　　　　　　　　　（１）

各々の場合の合計が17C4にならないといけません　　　　（２）

（１）、（２）は必要なかったですね。

ただし、無駄ではありません

このような問題では（１）の確立を余事象の確立として求めるのが一般的で、間違いも少なく、計算量も少なくて済みます。

期待値を求めるときは

Σp=1を確認しておいたほうがいいでしょう。このとき、（２）が必要となります。

回答No.1

kenjoko

わたしの基本的な考え方はこうです．

まず，A,B両者の選択肢は17C4 = 2,380通りあるが，Aの選択を(1,2,3,4)として一般性に問題はない．

4つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3,4)を選択する場合なので，1通り．

3つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3)を選択する場合に15通り，(1,2,4)を選択する場合に15通り...つまり，4C3 x 13C1 = (4x3x2/3x2x1) x 13 = 52通り．

2つ重なりが生じる場合は，同様に，4C2 x 13C2 = 468通り．

1つ重なりが生じる場合は，同様に，4C1 x 13C3 = 1,144通り．

したがって，重なりが生じる確率は，(1+52+468+1,144)/2,380 = 69.96%で，期待値は，(1x4 + 52x3 + 468x2 + 1144)/2,380 = 0.94となる．

この考え方でよいでしょうか．

　　　重なりが０の場合が抜けていますね

各々の場合の合計が17C4にならないといけません

　　　1 + 52 + 468 + 1144 = 1665　≠　17C4

また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか?
文系の私には少々酷な思考実験なのですが，ボスに考えさせられており
ます．

これは暇なときに私も挑戦してみます