俳句に季語が必要とされるようになったのは、その成立と関係があります。中世の頃から「連歌」というものが出てきました。それは、五七五・七七・五七五……と続けて七七で終わります。
これが「有心（うしん）連歌」「無心連歌」「俳諧の連歌」等の変遷を経て（このあたり、かなり強引に並べています）江戸時代初期に「俳諧」が成立しました。形式的には連歌の規則を受け継いでいます。
その特徴の一つに、最初の「五七五」（発句という）の中に、必ず季節を表す語句を読み込まなければなりません。その発句がだんだん独立して作られるようになりました。『初しぐれ猿も小蓑をほしげ也』は芭蕉が「奥の細道」の旅の直後に故郷の伊賀に赴く途中作ったものですが、後にこれを発句とした「猿蓑」という俳諧が作られました。（別掲のサイト参照）
その後この伝統を踏まえて、長い期間にわたり、「定形・有季」の発句がつくられました。明治になり正岡子規（多分）が、発句に変えて「俳句」という名称を与えました。子規以後も「ホトトギス派」を中心として「定形・有季」の俳句は現在に至っています。
しかし、その伝統の中で「非定型俳句」の運動が行われました。その一人で優れた俳人が「種田山頭火」です。非定型を目指した人には「季語」をも無視した人が多く、ほとんど問題にしなかったでしょう。
定形有季の俳句の中にも、むりやり季語だとしている例も多く（たとえば一茶）、山頭火の句も「季語」だと言えば言えるでしょうね。
お礼
参考になりました。 ありがとうございました！