教えてください

質問

こんばんは。マセマの合格数学３Ｃ（新課程）の、１１２Ｐの演習問題３８の（４）です。∫０～１　ｘ√（ｘ＾２＋１）ｄｘで、次の定積分を計算せよとあって、解答には
　合成関数の微分：
　｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´＝３ｘ（ｘ＾２＋１）＾１／２より、
　∫０～１　ｘ（ｘ＾２＋１）＾１／２ｄｘ
　＝〔１／３（ｘ＾２＋１）＾３／２〕０～１
　＝１／３（２＾３／２－１＾３／２）
　＝１／３（２√（２）－１）
となっているのですが、どこから｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´がでてくるのか、どうして〔１／３（ｘ＾２＋１）＾３／２〕０～１〕になるのかわかりません。どうかよろしくお願いします。

回答No.3

sanori

こんばんは。

＞＞＞どこから｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´がでてくるのか

ｘ（ｘ^2　＋　１）^1/2　は　ｘ√（ｘ^2　＋　１）　のことです。

｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’
が登場する理由は、
｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’＝　３ｘ（ｘ^2　＋　１）^1/2
という関係を利用して、積分を楽に行うためです。

・・・もしかして、「１／２乗」「３／２乗」の説明も必要でしょか？

１／２乗は、平方根（ａ^1/2　＝　√ａ）
２／２乗は、平方根に平方根をかけたもの（√ａ・√ａ）。１乗と同じなので、元の数と同じ。（√ａ・√ａ　＝　ａ）
３／２乗は、平方根の３乗。つまり、平方根に平方根をかけたものにさらに平方根をかけたもの（１乗に平方根をかけたもの）。（ａ^3/2　＝　ａ^(1 + 1/2)　＝　ａ・ａ^1/2 ＝　ａ・√ａ）
です。

｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’＝　３ｘ（ｘ^2　＋　１）^1/2

よって、
ｘ（ｘ^2　＋　１）^1/2　＝　｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’／３

よって、
∫[x=1→0] ｘ（ｘ^2　＋　１）^1/2　ｄｘ
　＝　∫[x=1→0] ｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’／３・ｄｘ
　＝　１／３・∫[x=1→0] ｛（ｘ^2　＋　１）^3/2｝’ｄｘ

微分したものを積分すると、元に戻るので、
　＝　１／３・（ｘ^2　＋　１）^3/2 [x=1→0]
となります。

つづき
　＝　１／３・（（１^2 ＋ １）^3/2　－　（０^2　＋　１）^3/2
　＝　１／３・（２^3/2　－　１^3/2）
　＝　１／３・（２√２　－　１・√１）
　＝　１／３・（２√２　－　１）

なお、上記の説明の途中で、
「微分したものを積分すると、元に戻るので」
と書きましたが、これは定積分の場合の話です。
不定積分の場合は、積分定数を加えなければいけません。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.2

Lokapala

a*f'(x)*(f(x))^(a-1)というのはf(x)^aの微分した形です。今回は、aが1/2で、f(x)がルートの中身だったということです。

ルートの中身を微分したものが掛けられていることに気づくと、上に書いたことを使ってたどりつけます。

お礼

おかげさまで理解することができました。ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

＞どこから｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´がでてくるのか
それは、ある種公式化されているものですね。とりあえず、（ｘ＾２＋１）＾(1/2)の指数に１を足してみたのを微分をしたら
｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´＝３ｘ√（ｘ＾２＋１）
で、ｘ√（ｘ＾２＋１）が出てきてめでたしめでたし…というストーリーなんです。
もちろん、置換積分などでコツコツやる方法もありますが…

＞どうして〔１／３（ｘ＾２＋１）＾３／２〕０～１〕になるのかわかりません
｛（ｘ＾２＋１）＾３／２｝´＝３ｘ√（ｘ＾２＋１）より
｛１／３（ｘ＾２＋１）＾３／２｝’＝ｘ√（ｘ＾２＋１）
となるからです。

ちょっと適当ですが、参考になれば幸いです。

お礼

十分参考になりました。ありがとうございました。