「３県にまたがっている様に表示する」の意味が今一つピンと来ていませんが，地図上の県境の表記と違っているのでしょうか？
こちら（東京）では近畿地区のテレビの天気予報画面が見られないので，テレビの表示については何ともいえませんが。
手元に近畿地方の地図（あるいは小学校～高校の社会科地図帳でも可）があれば，それをご覧になってください。
「奈良と三重の県境が二重になっている」ように見えた場所は，「奈良と三重の間に，一部分和歌山県の領土（？）が割り込んでいる」わけですね。
あるいは，「どうしてこのような境界線になったか（なぜ周りが奈良や三重になったか）」というご質問でしょうか。
詳しくはきちんと調べないとわかりませんが，とりあえず北山村のホームページには，
「明治４年、廃藩置県が実施され、新宮が和歌山県に編入された際、地理的に言えば北山は奈良県に属するところを「新宮が和歌山県に入ったのならぜひ私たちも」との村民の意見を聞き入れ、和歌山県に編入された。」
とありますので，この一帯の地域は江戸時代の領地の所属でいうと奈良県側に入るべきところを，ここの地域の人々の要望により，特例として経済的なつながり（さらには地形的な関係）を優先させた，ということだと思われます。
飛び地とは何かというと，ある地域名（都道府県，市区町村，町名・字など）に属する領域が，本体部分（中心部分）と直接接しない別のところにもう一つ（以上）ある場合の，その離れた領域をいいます。
（ただ，離れているといっても島の場合は当たり前ですので飛び地とはいいません。）
和歌山県の場合，和歌山市から新宮市までを含む部分が本体，北山村が飛び地ですね。
他に，都道府県レベルの飛び地では，埼玉県の中に東京都練馬区が離れて存在する（といっても家8件ほどの本当に小さい範囲です）などの例があります。
町や字などのレベルになると，全国にたくさんあります。
普通ならある地域名に属する範囲は一つにまとまっていたほうが便利なはずですので，あえて飛び地が存在している場所にはそれぞれ歴史的な理由があるのが普通です。
中には役人が気まぐれに線を引いたというのもあるかもしれませんが…。（それも歴史的といえばいえるかも。）
こんな説明で分かっていただけたでしょうか。もしまだ何かありましたら遠慮なくお願いします。
補足
？？？であれば、何故純粋に和歌山県でないのでしょうか？(何故、３県にまたがっている様に敢えて表示するのですか？） 当方、「飛び地」の意味がよくわかりません。教えて下さい