一階微分方程式の問題

質問

数学の問題で、
「ロープが荒い表面の円筒のまわりに巻かれているとき、その一端における小さい力は他端におけるいっそう大きい力に対応できる、すなわち、円筒に接触しているロープの全ての部分について、単位長さ辺りの張力の変化はその張力に比例し、その比例定数はロープと円筒との摩擦係数を円筒の半径で割ったものである。摩擦係数が0.35であるとして、一端を保持している人がその人の出し得る力よりも200倍だけ大きい力に対抗できるためには、直径1ftの柱にロープが幾回巻かれねばならないか」
という問題があるのですが、解き方が分かりません。どうか回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#70519

張力を F 、摩擦係数をμ、ロープの長さを s、円筒の半径を r とする。
dF/ds=(μ/r)・F
dF/F=(μ/r)・ds
これを解く。一端における小さい方の力を F0、ロープの全長を S とすると
∫[F0→F]dF/F=∫[0→S](μ/r)・ds

∴　ln(F/F0)=(μ/r)・S

ここで数値を代入する。

F/F0=200
μ/r=0.35/(1/2)=0.7
故に、S=ln(F/F0)/(μ/r)
=ln(200)/0.7=5.298/0.7=7.57

ロープの円筒への巻き数を N とすると

N=7.57/{π・(2r)}=7.57/(3.14・1)=2.41

故に、2.41 巻き である。

お礼

回答ありがとうございます。助かりました！