証明の問題

質問

(∀n ∈ N)[(n^2 =< n) → ((n+1)^2 =< n + 1)]の真偽
Nは自然数 = {0, 1, 2, ...}

以下のような解き方をすると真となるように思います。
解き方に問題がありますでしょうか。
n ∈ N かつ n^2 =< nの場合、(n+1)^2 =< n + 1は正しいという想定を証明する。
後ろから解いて：
(n+1)^2 =< n + 1
n^2 + 2n + 1 =< n + 1
n^2 + 2n =< n
n^2 =< n。
n^2 < n^2 + 2nなので、最初の想定は正しい。

回答No.4

Rice-Etude · ベストアンサー

No.2です。

他の回答者さんの補足を拝見しましたが、
「n^2 ≦ n のとき、n^2 ＜ n^2 + 2n なので n^2 + 2n ≦ n 」
としていますが、n ≦ n^2 + 2nであってもn^2 ≦ n^2 + 2nは満たすので（n^2 ≦ n ≦ n^2 + 2nより自明）、n^2 + 2n ≦ nとは言い切れないでしょう。

実際はnが0以上の整数であるならn^2 + 2n ≧ nですよね？
[証明]
（左辺）－（右辺）≧0を証明すればよい
n^2 + 2n - n ＝ n^2 + n ＝ n(n+1)---(1)
nが0以上の整数ならn+1は正の整数、
よって(1)の式は0×（正の値）、または（正の値）×（正の値）となり
(1)の式≧0（左辺＝右辺となるのはn＝0）

お礼

なるほど不等号が逆であることが証明出来ますね。
有り難うございました。

回答No.5

kumipapa

＞　n^2 ≦ n のとき、n^2 ＜ n^2 + 2n なので n^2 + 2n ≦ n が成立する、と思ったのですが。。

勘違いしちゃっただけですね。
n^2 ≦ n であっても、n^2 ＜ n^2 + 2n を根拠に n^2 + 2n ≦ n が成立すると主張することはできませんよね。
a ≦ b, a＜c だから c ≦ b であるという論理になってしまってますから、明らかに勘違いでしょう。c, b についてこれだけでは大小関係を論じることはできません。

そもそも、n^2 ＜ n^2 + 2n が成り立つとした根拠は？　と考えれば、n ＜ 2n だし、さらには n ＜ 2n ＜ 2n + n^2 ですよね。それを逆の n^2 + 2n ≦ n と結論するのは明らかに矛盾しちゃってました。
実際には題意より n≧0 ですが同じことです。

お礼

有り難うございました。

回答No.3

kumipapa

もしかしたら・・・

(n+1)^2 ≦ n + 1　　⇔　　n^2 + 2n ≦ n

n^2 ≦ n のとき、n^2 ＜ n^2 + 2n なので n^2 + 2n ≦ n が成立する、とでもおっしゃりたいと？
そんなわけないか。

補足

補足要求有り難うございます。
ご指摘の通り、n^2 ≦ n のとき、n^2 ＜ n^2 + 2n なので n^2 + 2n ≦ n が成立する、と思ったのですが。。

この問題を反証して解くと（x=1のとき）確かに偽だと思うのですが、このような解き方をすると、なぜおかしいかがあまりわからないです。くだらないこと聞いてすみません。。

回答No.2

koko_u_

>解き方に問題がありますでしょうか。
>(略)
>n^2 + 2n =< n
>n^2 =< n。

移項ミス？

>n^2 < n^2 + 2nなので、最初の想定は正しい。

どういうこと？

回答No.1

Rice-Etude

すみません。もし問題の不等号の向きがこれで正しいなら、答えは偽ですよね？

（反証）
n=1のとき、
1^2 <= 1 は成り立つが、
(1+1)^2 > 1+1 となり、(n+1)^2 =< n+1 とはなっていない。
よって偽