限量子の順序について

質問

mとnは整数とし、nをmで割り切れるとき、m | nとします。（n = kmとし、kは整数です。）mとnのドメインをZ+ = {1, 2, ...}としたとき、以下の命題は真か偽か。
1. ∃m ∀n (m | n)
2. ∀m ∃n (m | n)
3. ∃n ∀m (m | n)
4. ∀n ∃m (m | n)

1は、「どんな整数nであっても、割り切れる数mが存在する（m=1）」で真。
2は、「ある整数nは、どんな整数でも（m=１、２、３。。）割り切れるようなものがある。」で偽。
という考えで正しいでしょうか。限量子の順序は関係ないと思い、１と４、２と３は同じ問題に思われるのですがどうでしょうか。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>限量子の順序は関係ないと思い
おおいに関係あります。

そして「順番が逆」です。

2 は「すべての m に対して、ある n が存在して、n は m の倍数」よって真です。

3 は「ある n が存在して、それはすべての m に対する倍数」よって偽です。

ドメインにゼロが許されれば、0 はすべての整数の倍数なので 3 も成立します。

補足

回答有り難うございました。順序が関係することは理解出来ました。
２が真であるというのは「割られる数nが割る数自身、すなわちn=m」のときでしょうか？この問題の場合、mとnは同じ値を想定してもよいのでしょうか？

回答No.2

koko_u_

>２が真であるというのは「割られる数nが割る数自身、すなわちn=m」のときでしょうか？
同じでもよいし、２倍でも、３倍でも、よい。

>この問題の場合、mとnは同じ値を想定してもよいのでしょうか？
何が疑問なのかわかりません。

お礼

すみません。ちょっと勘違いしていました。
そうですね、同じ場合だけでなく何倍にしても大丈夫ですね。
有り難うございました。