ベキ乗則の関係？

質問

「べき乗」というのが何かわからなくてネットで検索した結果、真っ先にウィキペディアで「べき乗則」が見つかりました。
べき乗の意味を調べたかったので、意味もわからないままとにかく読んでみたのですが、自然現象、社会の現象など色々な分野でベキ乗則が関係しているらしい事が書かれてありました。

その後、べき乗は累乗、乗数と同じ意味らしいとわかったのですが、
なぜ累乗、乗数が自然現象や社会現象などと関係しているのか疑問です。

以下質問です

・なぜ累乗が自然現象、社会現象などに関係があるのか？
それとも、たまたま乗数の計算？が近い値をだしているだけなのでしょうか？

・累乗を使った数式はそれぞれの分野であるのでしょうか？

もしも上記の質問で根本的に勘違いしているようでしたら、わかりやすく説明していただけると助かります・・・

全くの素人質問で恥かしいのですが、ご教授の程よろしくお願い致します。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

すみません。訂正です。

【訂正前】
ここで、各硬貨の枚数を減らしていくと、
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ８枚ずつある場合は、
９^3　通りの金額
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ７枚ずつのときは、
８^3　通りの金額
つまり、
［表せる金額の種類］　＝　［各硬貨の枚数］^3 　　←ここが間違い！！！
という三次関数です。

【訂正後】
ここで、各硬貨の枚数を減らしていくと、
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ８枚ずつある場合は、
９^3　通りの金額
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ７枚ずつのときは、
８^3　通りの金額
つまり、
［表せる金額の種類］　＝　［各硬貨の枚数＋１］^3
という三次関数です。

回答No.4

sanori

三たび登場。

＞＞＞
全てですか・・・かなり驚いています。
逆にべき乗と関係していないのは無いのでしょうか？

たぶん、ないです。何らかの形で、べき乗と関係しています。
そうでないものは私には思いつきません。

＞＞＞
それと、社会現象で関係しているというのがわかりません・・・

女性が一生のうちに産む子供の数である「合計特殊出生率」って聞いたことないですか？
ニュースとか世間一般では、略して「出生率」って言ってます。
現在では、出生率は、だいたい１．３です。
子供が産まれるのは妻と夫の二人一組の共同作業なので、単純に考えて、出生率が２．０以上ないと、だんだん出生数が減っていくというイメージはわかりますか？

仮に、子供が産まれるときの夫婦の年齢が３０歳としましょう。
すると、
３０年ごとに、子供の出生数は、１．３／２．０倍になっていくということです。
式で表せば、
出生数／今年の出生数　＝　（１．３／２．０）^(T/30)
　＝　｛（１．３／２．０）^(1/30)｝^T
　＝　0.986^T
（Ｔは、今年を０年として数える年数）
となります。
１－０．９８６＝０．０１４なので、ざっと、毎年１．４％ずつ、赤ちゃんが減っていき、
今から３０年後には、１．３／２．０＝０．６５倍、つまり、赤ちゃんの数は３５％少なくなる（３分の２倍ぐらい）という勘定です。
このままでは、６０年後には、さらに３分の２ぐらいです。
急速に進む少子化問題の重大さがおわかりになったかと思います。

それから、
学校の社会科（歴史？）で「所得倍増計画」っていうのを習いましたよね。
http://note.masm.jp/%BD%EA%C6%C0%C7%DC%C1%FD%B7%D7%B2%E8/
１０年で倍増する、つまり、毎年７％の経済成長をすることを目標に掲げました。
１．０７^10 つまり、
1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07 × 1.07
を計算してみてください。
だいたい２になりますから。

ほかのことにも応用できますよ、
預金利率が７％（複利）だとすれば、１０年預ければ元本の２倍の金額になります。
元本　×（１　＋　預金利率）^(預ける年数Ｔ)　＝　Ｔ年後の預金残高

お礼

度重なる回答ありがとうございます。

お手数をおかけ致しました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

おそらく質問者様は、「べき乗」という日本語を初めて目にしただけであって、
べき乗そのものは、学校その他で、すでに出会っているはずです。

主なべき乗は、下記の２つに分類されます。
・ｘ^n　（ｎは定数、ｘは変数）・・・　ｘのｎ乗、ｎ次関数
・ｙ　＝　ａ^x　（ａは定数、ｘは変数）・・・　ａのｘ乗、指数関数

「^」という記号は、べき乗のことです。
（本当は、小さい文字で、左隣の文字の右上に書きたいのですが、ここでは小さい文字を書けないので、^　を使っています。）

さて、
驚かれるかもしれませんが、
日頃あなたが目にしている身の回りの自然現象は、すべて、べき乗と関係しています。
ただし、高度な考え方（複素指数関数など）が必要になるので、まずは、考えやすい例を挙げますね。

１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ９枚ずつあります。
この２７枚で表すことができる金額は何通りですか？
こたえ
１の位、１０の位、１００の位、それぞれ０～９という１０通りの場合があるので、
１０^3　＝　１０００通り　（０００円から９９９円まで１０００通り）

ここで、各硬貨の枚数を減らしていくと、
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ８枚ずつある場合は、
９^3　通りの金額
１円玉、１０円玉が、１００円玉が、それぞれ７枚ずつのときは、
８^3　通りの金額
つまり、
［表せる金額の種類］　＝　［各硬貨の枚数］^3
という三次関数です。

今度は、どの硬貨も９枚ずつあることにして、
１円玉、１０円玉が、１００円玉のほかに、
１０００円玉、１万円玉、１０万円玉、１００万円玉・・・
も９枚ずつあるとすれば、
［表せる金額の種類］　＝　１０^[硬貨の種類の数]
という指数関数です。
たとえば、百万円玉まであるとすれば、硬貨の種類は７種類なので、
１０^7 ＝　１千万通り
です。
（０円から９９９９９９９円までは、１千万通りの金額ですよね？）

というわけで、身近なところに、ｎ次関数や指数関数が隠れていることをおわかりいただけたかと思います。

自然現象も挙げたほうがよいですか。

・完全に透明でない物質の中を光が進むとき、光の減衰は進行距離の指数関数

・クルマで、ブレーキをかけてから止まるまでの距離は、ほぼ、ブレーキをかける前のスピードの２乗に比例（二次関数）
　つまり、時速３０ｋｍと時速６０ｋｍでは、制動距離が４倍違う。

・放射性物質の放射能は、時間の指数関数
　半減期を１つ刻むごとに、放射能は半減していく。
　（逆に言えば、放射性物質が１つ減るごとに放射線が１個出るので、半減期が短いほど放射能は強い。）

・２つの物体の間に働く万有引力は、物体間の距離の２乗に反比例。
・２つの電荷の間に働く静電引力は、電荷間の距離の２乗に反比例。

補足

>驚かれるかもしれませんが、
>日頃あなたが目にしている身の回りの自然現象は、すべて、べき乗と関係しています。
全てですか・・・かなり驚いています。
逆にべき乗と関係していないのは無いのでしょうか？
それと、社会現象で関係しているというのがわかりません・・・

回答No.1

ymmasayan

べき乗(累乗)は同じものを何回もかけるという意味です。
一番簡単な例は円周、円の面積、球の体積、球の表面積です。
半径をｒとすると
２πｒ、πｒ^2、４πｒ^3／３、４πｒ^2となってべき乗の形が出てきます。

自然界でも枚挙にいとまが無いほど沢山の例があります。
１秒で２倍に増える細菌が最初に１個有ったとすると
１秒ごとに１，２，４，８，１６と増えていきます。
これは２^0、２^1、２^2、２^3、２^4・・・とべき乗になりますね。

お礼

細菌の話納得です。

ご回答ありがとうございました。