あらら・・・σ^。^) すみません。
恐らく、前提条件が一つ足りないので、
回答者の皆さんも少しお困りのようですよ。
というのは、質問者様、あなたはすでに
印鑑登録がお済みで、印鑑登録カードをお持ちですか?
それによって、回答が全く違うのです。
もし、印鑑登録がお済みでないのでしたら、
No.4、No.5さんの仰る通りです。
まず、印鑑証明書の即日発行はできないと
思われた方が良いです。
これは、お手元の印鑑登録カードを亡失している
場合も同じです。
ちなみに、ご存知とは思いますけど念のために。
他の自治体の印鑑登録カードは使えませんよ。
印鑑登録は、その市町村に在住する期間しか使えません。
(ごめんなさい。当り前すぎることなのですけど、
「引越ししただけなのに、勝手に人の登録消しやがって!」
と、よく窓口で怒鳴られたこともありますもので・・・。)
そして、既に印鑑登録をされていて、印鑑登録カードも
お持ちでしたら、No.2、No.3、No.6の仰る通りです。
原則として、印鑑登録カードの貸与行為が、
証明書発行の権利を委任したこととみなされます。
念のため、代理交付者(あなたではなく窓口に来られる方)
の身分を証明するものをお持ちになった方がというのも、
まさしくその通りです。
ただ、もっと大事なことは、その代理交付者が、
あなたの住所、氏名、生年月日等をその場で正しく
書けることが大事です。
これだけは落ちていた印鑑登録カードを拾得した人では
できないことですよね。なので、印鑑証明所発行申請書に、
全て正しく記入できない方には証明書を発行しません。
恐らく、お住まいの自治体でも同様かと思います。