平方根について

質問

こんにちは。高校数学１　平方根について質問します。

本を読んでいたら、
　１）　（√ａ）^2＝a
　 ２）　√(a^2)=|a|
　ということで公式化されていました。この２つは、具体的にどう違うのかよくわかりません。解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

jo-zen · ベストアンサー

平方根の定義を思い出してください。平方根とは、関数X^2=a（a>0)の解のうち正の数を表します。これを記号で表せば、x =√ａ となります。また、言葉で表せば、「２乗すると正数aになる数X」のことです。したがって、「Xを２乗すればa」となります。つまり、
　（√ａ）^2＝a
ということで、これは定義そのものです。

次に、a＜0であっても、２乗すれば、a^2 > 0 となりますので、数a^2 の平方根をとることができます。但し、平方根は正数であるという、上記の定義から、たとえば、√(a^2) で a = -2 とすると、
　　√(a^2) ＝√４＝２＝|－２|＝|a|
となるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞平方根とは、関数X^2=a（a>0)の解のうち正の数を表します。

おお、定義が違うのですね！なんとなくピンときました。
回答に感謝します。

回答No.3

hitokotonusi

aがマイナスの場合も明示して考えることにして、
aのところを±|a|にしてみます。

a>0のとき、a=+|a|
a<0のとき、a=-|a|

これをまとめてa=±|a|と書きます。

１）　（√ａ）^2＝(√[±|ａ|])^2＝(√[±1]）^2×(√|ａ|）^2
　　　＝(±1)×|ａ|＝±|ａ|＝a

高1だと習っているかどうか忘れてしまいましたが、途中√(-1)が出てきます。
これは虚数と呼ばれるものですが、ここでは√(-1)は２乗して-1になることだけ押さえておいてください。

２)の場合は、

２）　√(a^2)＝√(±|a|^2)＝√[(±1)^2×(|a|^2)]＝√[1×|a|^2]
　　　＝√[|a|^2]＝|a|

です。aの値が正でも負でも、√(a^2)は必ず正になります。

お礼

回答ありがとうございます。

緻密な証明をしていただき、感謝します。

＞これをまとめてa=±|a|と書きます。

　上記等式は、aという数はが、２つの大きさを持つという風にもとれると思いますが、aは定数であれとすると、１つの値ではないでしょうか？そうすると、「a=±|a|」は定数の定義に矛盾することはないのでしょうか？
　素朴な疑問です。

回答No.2

gonbee774

ａに負の数をいれてみればイメージできるのではないでしょうか？
たとえばa=-1とか。

√（-1）＝ｉ、（ｉ^2＝-1）ですね。

お礼

回答ありがとうござす。

負の数の場合が違うということですね。

回答No.1

kabaokaba

まったく別個のもの

(1)平方根というものは二乗すれば元に戻るということ
( ルート(2) )^2= 2
( ルート(-2) )^2 = ( ルート(2) i )^2 = -2

(2)二乗した数の平方根はもとの数の絶対値
ルート(2^2) = 2
ルート((-2)^2) = ルート(2^2) = 2 = | -2 |

(-2)^2 と -2^2 の違いが分かりますか？

お礼

回答ありがとうございます。

証明されると、なるほどと思いました。
ただ、（１）と（２）がまったく別物ということが、直感としてピンときません・・・。