健康保険は次の3方法があります。
1）政管健保等の被用者保険にご加入の家族の被扶養者になる
2）退職前の健康保険を任意継続する
3）国民健康保険に加入する
保険料の観点からでは、1）です。保険料の負担がありません。ただし、1.該当する家族がいること、2.その家族の健康保険が認定してくれる事、が条件です。
2）と3）は保険料が違いますので、それぞれの金額を確認して安い方を選べば良いと思います。確認先は、2）は退職前の健康保険（政管健保なら社会保険事務所、組合健保ならその組合）、3）はお住まいの市区町村です。
保険料以外では、加入する健康保険によって違いがあります。特に組合健保の場合は、組合によってその違いが大きいですので直接ご確認される事をお勧めします。
補足
丁寧な回答ありがとうございます。親が保険に加入している（政府管掌）のですが、現実問題として３週間という短期間を前提に加入できるのでしょうか。また任意継続は会社を退職したあとでも手続きは可能なのでしょうか。無計画な退職をしてしまい、ふと気づいたら健康保険に加入していない状態にきづきました。スポーツをやっており怪我をすることもあるので急に心配になって質問させていただきました。よろしくお願いします。