a,bはともに整数である・・・（中学生レベル）

質問

a,bはともに正の整数である。aを13で割ると3あまり、bを13で割ると7あまる。このとき次の問いに答えなさい。
（１）b^2を13で割るとあまりは？
（２）7a=3bでa,bがともに3桁の数であるような(a,b)の組は何組ある
この問題がわかりません。連立方程式をつくって解こうと思ったのですが、式がつくれませんでした。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

skomasu · ベストアンサー

どうも、No.5回答者です。
中学校では「たがいに素」という言葉を使わないのか、調べて回ったのですが分からなかったので、使わないバージョンを、考えて来ました。
『
7m=3n
7m が３の倍数なので、m は３の倍数。
3n が７の倍数なので、n は７の倍数。
』

お礼

フル回答ありがとうございました。
前出の方のヒントと元に算出した答え合わせができました。

回答No.4

skomasu

模範解答かどうかは、さておいて。

（１）すなおに、b=13n+7 (n=0,1,2,,) とおいてみる。
『
b=13n+7 (n=0,1,2,,)とおく。
b^2
=169n^2+182n+49
=13(13n^2+14n+3)+10
よって答えは 10.
』

（２）問題文を見ると「(a,b)の組は何組ある」とあるので、条件を満たす a,b が複数あると思ってよい。だから、連立方程式では解けない。
前問同様に、
『
a=13m+3
b=13n+7
とおく。
』
条件に当てはめてみる。
一つ目の条件、7a=3b に代入すると、
『
7a=91m+21
3b=39n+21
これを 7a=3b に代入する。（中略）
∴7m=3n　--(1)
３と７は互いに素なので、m は３の倍数、n は７の倍数である。
』
↑ここの最後のとこは、ピッタリな説明を思いついたら、またアップします。
二つ目の条件は、３桁の数ですね。
『
a,b は３桁の整数なので、
100≦13m+3≦999
100≦13n+7≦999
∴8≦m≦76、 8≦n≦76
』
(1)より n > m なので、ｎ から考えると答えを早く絞り込める。
もちろん、m からでも解く事が出来ます。
『
よって n は,
14, 21, 28,（略）, 63, 70
の９通り。
このとき、 n と組になる m は、n = 3m/7 より
6, 9, 12,（略）, 27, 30
の９通り。
しかし m=6 は条件に合わない。
よって答えの組み合わせは８通り。
』

ちなみに、
m,n の組は（9,21）（12,28）（15,35）（18,42）（21,49）（24,56）（27,63）（30,70）になります。
a,b の組は（120,280）（159,371）（198,462）（237,553）（276,644）（315,735）（354,826）（393,917）です。
問題は「何通りか」しか聞いていないから、全部計算して答える必要は無いです。

回答No.3

sanori

こんにちは。

整数ｍ、ｎを用いて
a = 13m + 3
b = 13n + 7
と表すことができます。

(1)
b^2 = (13n + 7)^2 = (13n)^2　＋　2・7・13・n　＋　7^2
　＝　１３（13n^2 + 14n）　＋　４９
これを１３で割れば、１３（13n^2 + 14m）の部分は割り切れるので、
４９÷１３の余りが答えになります。

(2)
7(13m + 3) = 3(13n + 7)
91m + 21 = 39n + 21
m = 39n/91
よって
a = 13(39n/91) + 3
これが、少なくとも整数でなくてはいけません。
つづきは考えてみてください。

お礼

ヒント（ほぼ解答でしょうか）ありがとうございます。
つづきをやってみます。

回答No.2

cecfca

aは13で割ると３あまるので、具体的な数を考えると
　a=3,16,29,42…
と考えられます。なので、０と自然数（正の整数のことです）nをつかって、
　a=13n+3
という式で表すことができます。
ここまで理解できたら、同じようにbをnを使った式で表してみて下さい。
それができたら、aとbに今作った式を代入することで問題を解くことができます。
がんばって下さいね！

お礼

ヒントありがとうございます。
解答そのままでは勉強になりませんものね。がんばります。

回答No.1

DONTARON

（１）たとえば、ａ＝１３ｘ＋３、ｂ＝１３ｙ＋７とおきます。
　　　そうするとｂ＾２＝（１３ｙ＋７）＾２となるので
　　　これを｛１３（○ｙ＾２＋○ｙ＋○)＋○｝の形にすれば
　　　あまりはそれほど難しくありません。

お礼

ヒントありがとうございます。
がんばってといてみます。