(1+h)^1/h < 3 の証明を教えてください！！

質問

今度の試験で(1+h)^1/h < 3 の証明がでるのですが、解けなくて困っています。授業で自然対数eの話の途中でこの証明のことを言われたのですが・・・すいませんが、よろしくお願いします。

回答No.4

noname#50894 · ベストアンサー

No.3を訂正して、補足します。

この時点では、自然定数eは定義されておらず、導関数も利用出来ませんので、

>1/h>1から、自然数n(≧2)を、n-1<1/h≦nと選びます。
>{1+1/(n-1)}^(n-1)<(1+h)^(1/h)<(1+1/n)^n
>［←本当はこの事も証明すべきですね。（省略します）］

では、証明には無理が生じます。

(1+1/n)^(n-1)<(1+h)^(1/h)<{1+1/(n-1)}^n
に持ち込まないといけませんでした。
この方法だと、不等式の利用が可能です。

真面目におやりになるお気持ちがあれば、お手伝い致します。

回答No.3

noname#50894

> (1+h)^1/h < 3

とりあえず、0<h<1で良いでしょうね。
1/h>1から、自然数n(≧2)を、n-1<1/h≦nと選びます。

{1+1/(n-1)}^(n-1)<(1+h)^(1/h)<(1+1/n)^n
［←本当はこの事も証明すべきですね。（省略します）］

(1+1/n)^n
=1+n*(1/n)+{n*(n-1)/2}*(1/n)^2+…
<1+1+1/2!+1/3!+…［←どこかで見た数ですが、これで3より小さいと結論してはいません］
<1+1+1/(1・2)+1/(2・3)+…
=1+1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+…
=3

従って、(1+h)^(1/h)<3［0<h<1］

以前、どなたかからのご質問の考え方を、まとめたのですが、何の反応もありませんでした。
参考URLの内容もご参照下さいませ。

参考URL：

http://okwave.jp/qa3695188.html

回答No.2

koko_u_

> h > 0 では (1+h)^(1/h) < e < 3 となります。
ネピア数 e の定義の話の途中なんだろうから、それでは多分堂々めぐりだと思う。

> (ネピア数、自然対数の底,e=2.71828… )
の値は何処から来たんだと問われておしまいでは？

回答No.1

info22

他力本願でなく、あなたの自力の解答を書いて質問して下さい。
丸投げで、他人の回答者に丸解答を求めるのはマナー違反で、
授業担当の先生の試験の解答をネット上にさらすのは、先生の授業妨害に当たりますのでヒントにとどめます。解答をこういった場所に求めてはいけません。同じ試験を受ける学生にここの解答が知れ渡ったら、先生の試験を妨害することになりますよ。

ヒント）
この関数は
h>-1（h≠0）で単調減少関数で
h→0+で　(1+h)^1/h →e (ネピア数、自然対数の底,e=2.71828…）
h→∞で　(1+h)^1/h →1
です。
h>0では(1+h)^(1/h) <e<3 となります。
-1<h<ho=-0.17398…では(1+h)^(1/h)>3となって証明する式は成り立ちません。（hoは(1+h)^(1/h)=3の解です。）

なぜこうなるかは、自力で調べて考え、その内容をネット上で明らかにしないことがマナーだと思います。