数学A 「命題と条件」、「論証」について教えてください。

質問

こんばんは。質問させて頂きます。

(1)「すべての～」の否定は「ある～」だというのを習いました。なんとなくそうだということは分かります。しかし問題に適用しようと思うと上手くできません。
実際に問題で考えてみますと「ある実数xについて、x^2<1」⇒「すべての実数xについて、x^2≧0」ですよね？『ある実数x』というのはどう考えたらいんでしょうか？「すべて」だったら「1は良くて・・・ああ、0は駄目だ」となりますが、「ある」のときはどう考えたらいいんでしょうか？

(2)「ab=0⇒a=0かつb=0」は真だそうですが、この場合ab少なくても片方が0だったらいいんですよね？この「a=0かつb=0」はどちらも0であるときしかさしていない・・・のではないのですね？「かつ」は"and"と私は考えているのですが、"両方"じゃなくてもいいんですか？
また、この裏は「ab≠0⇒a≠0またはb≠0」で真だそうですが、この場合もどちらも0ではないときも含めてさしているのでしょうか？

乱文・長文失礼しました。
分かりづらい説明だと思いますが回答お待ちしています。

回答No.4

Segenswind · ベストアンサー

（１）
「すべてのｘはＡである」の否定は「或るｘはＡでない（＝Ａでないｘが存在する）」です。
例を挙げれば、「すべての人間は死ぬ」の否定は「或る人間は死なない（＝死なない人間が存在する）」ということです。
また、全体の否定でなく一部の否定であれば、また変わってきます。
例：「すべての人間は死ぬ」の「死ぬ」だけを否定すれば、
　　「すべての人間は死なない」⇔「『或る人間は死ぬ』ということはない（＝死ぬ人間は存在しない）」

　　not（すべてのｘはＡ）⇔ 或るｘは notＡ
　　すべてのｘは notＡ ⇔ not（或るｘはＡ）　　となります。

で、どのような問題か分からないのですが……、真偽を答えれば良いのでしょうか？
「Ｐ⇒Ｑ」というのは、「Ｐが成り立つとき常にＱが成り立つなら真」⇔「Ｐが成り立つのにＱが成り立たない時があるなら偽」です。
さて問題に戻って、例えば実数ｘを「リンゴ」、x^2<1 を「美味しい」、x^2≧0 を「美味しくない」とすると、問題は、

　　「或るリンゴが美味しい」ならば「すべてのリンゴは美味しくない」

と書き換えられます。……まったく意味不明ですが。

　　「あるリンゴが美味しい」ならば「『すべてのリンゴが美味しくない』わけではない」
　≡「或る実数ｘについて、x^2<1」⇒「『すべての実数ｘについて、x^2≧0』ではない」

でしたら真になります。

（２）
「ａ＝０かつｂ＝０」は、その通り「ａ＝０ and ｂ＝０」の意味です。つまり、

　　「ａ＝０，ｂ＝０」……○
　　「ａ＝０，ｂ≠０」……×
　　「ａ≠０，ｂ＝０」……×
　　「ａ≠０，ｂ≠０」……×

となります。
なお、ド・モルガンの法則というものを学んだかと思われますが、
この否定「not（ａ＝０かつｂ＝０）」は、「not（ａ＝０）or not（ｂ＝０）」⇔「ａ≠０ or ｂ≠０」となります。
そして、「または（or）」という場合、数学では通常、「両方とも」のときを含みますので、

　　「ａ＝０，ｂ＝０」……×
　　「ａ＝０，ｂ≠０」……○
　　「ａ≠０，ｂ＝０」……○
　　「ａ≠０，ｂ≠０」……○

となります。先のものとまるっきり逆となっていることにお気づきでしょうか。

とある数学者の言ですが、「数学とは言葉」です。
言葉ですので、定義があやふやですと、正しく読み書きや会話はできません。
逆に言うと、定義がしっかりしていれば、日常会話レベルで苦労することはそうそうなくなります。
言葉の意味に疑問を持って、それをはっきりさせようとするのはとても良いことだと思います。
これからも頑張ってください。

お礼

回答有難うございました。分かりやすかったです。
また「言葉の意味に疑問を持って、それをはっきりさせようとするのはとても良いことだと思います。」と言ってくださり嬉しかったです。また何かありましたらお願いします。

回答No.3

stomachman

(1)　命題の否定を作る操作は、背理法（帰謬法）などの証明を行う際にどうしても必要なんですが、間違え易い操作でもあります。

> 実際に問題で考えてみますと「ある実数xについて、x^2<1」⇒「すべての実数xについて、x^2≧0」ですよね？

　んん？これじゃ、なんのこっちゃ分かりません。

「ある実数xについて、x^2<1である」の否定は「全ての実数xについて、x^2<1ではない」です。前者は真で、後者は（真の命題の否定なんだから）偽。

　また、「すべての実数xについて、x^2≧0である」の否定は「ある実数xがあって、x^2≧0ではない」です。前者は真で、後者は（真の命題の否定なんだから）偽。

　「すべての…について○○」ってのは「任意の…について○○」ということと同じであり、「どんな…を持って来ても○○が成り立つぞ」ということです。
　「ある…があって○○」ってのは「○○が成り立つような…が存在する」ということと同じであり、「…をうまく選ぶと○○が成り立つようにできるぞ」ということです。

　「すべての実数xについて x^2>1である」という命題が偽であることを証明するには、反例（すなわちx^2>1でないような実数xの例）をひとつでも挙げれば良いですね。
　実際、0はx^2>1でないような実数です。なので、xとして0を選べばx^2>1でない。つまり「うまくxを選ぶと、x^2>1の否定が成り立つようにできる」のであり、だから「ある実数があって、x^2>1でない」は確かに真である。従って、その否定である「すべての実数xについて x^2>1である」は偽である。

　同様に、「ある実数xがあって、x^2＜0である」という命題が偽であることを証明するには、その否定、つまり「すべての実数xについて、x^2＜0でない」が真であることを証明すれば良い。

　「ある」と「すべての」が重なって使われることもあります。
　例として、「すべての実数xについて、ある実数yがあって y>xである」の否定を考えましょう。つまり「（すべての実数xについて、(ある実数yがあって y>xである)）の否定が成り立つ」という命題はどうなるのか。
　これはすなわち「ある実数xがあって、（ある実数yがあって y>xである）の否定が成り立つ」ということであり、だから「ある実数xがあって、(すべての実数yについて y>xでない)」と同じです。つまり「ある実数xがあって、すべての実数yについて y≦xである」ということです。

(2) 「かつ」はandであり、論理学の記号では∧と書きます。
A∧B が真であるとは、AとBが両方とも真である、ということです。なのでB∧Aと同じ意味です。
ついでに、

「または」はorであり、論理学の記号では∨と書きます。
A∨B が真であるとは、AとBの少なくとも一方が真である、ということです。なのでB∨Aも同じ意味です。

「否定」は論理学の記号では￢とか～と書きます。
￢Aが真であるとは、Aが偽であるということです。
￢(A ∧ B)は(￢A ∨ ￢B)と同じです。また、
￢(A ∨ B)は(￢A ∧ ￢B)と同じです。そして、
￢￢AはAと同じです。

「ならば」は論理学の記号では→とか⊃と書きます。
A→Bが真であるとは、AでないかBである、ということ、つまり(￢A)∨Bが真であるということです。
　なので、
￢(A→B)は￢((￢A)∨B)と同じであり、(￢￢A∧￢B)と同じであり、(A∧B)と同じです。

「あるxがあってPである」は論理学の記号では∃xPと書きます。例えば、「ある実数xがあってPである」は「あるxがあって（xは実数であり、かつ、Pである)が成り立つ」ということなので、(Rを実数全部の集合とすると）
∃x(x∈R ∧ P)
と書きます。

「すべてのxについてPである」は論理学の記号では∀xPと書きます。例えば、「すべての実数xについてPである」は「全てのxについて(xが実数であるならばPである）が成り立つ」ということなので、
∀x(x∈R → P)
と書く訳です。ところで、x∈R → Pは￢(x∈R) ∨ Pと同じですから、
∀x(￢(x∈R) ∨ P)
と書いても構いません。

￢∃xPは∀xPと同じです。また、￢∀xPは∃xPと同じです。

　以上を使って「すべての実数xについてPである」の否定、つまり、
￢∀x(x∈R → P)
がどうなるか考えてみると、これは
∃x￢(x∈R → P)と同じであり、
∃x￢(￢x∈R ∨ P)と同じであり、
∃x(￢￢x∈R ∧ ￢P)と同じであり、
∃x(x∈R ∧ ￢P)と同じである。つまり、「ある実数xがあってPでない」ということになります。
（「ある実数xがあってPである」の否定がどうなるかは、やってみて下さいな。）

「すべての実数xについて、ある実数yがあって y>xである」を記号で書くと
∀x(x∈R→∃y(y∈R ∧ y>x))
です。この否定も、上記の応用で出来ます。

　このように記号を使って命題を書いたものを「論理式」と言います。論理式の書き方と変形の仕方を一度憶えてしまうと、ハナシがとっても簡単明瞭になり、間違えることも少なくなりますヨ。

回答No.2

godanobita

「ある」というのは「x^2<1なる実数xが存在する」という言い方です。英語だとexist（綴り違うかも＞＜）。x^2<1を満たす実数がひとつでも存在すれば、真です。

「ab=0⇒a=0かつb=0」ですが（a,bの範囲にもよりますが）偽ですよ。

補足

すみません、ご指摘有難うございました。
偽ですね、偽ってノートに書いてあったのに入力ミスをしました。

つまり「ある」の場合は「あてはまらない」ものがあってもいいんですね。「少なくても１つはあてはまる」と同じような感じなんでしょうか。ありがとうございました。

回答No.1

333aaasssd

（２）だけ答えさせてもらいます。
「ab=0⇒a=0かつb=0」は偽だと思います。

補足

すみません、ご指摘有難うございました。
偽ですね、偽ってノートに書いてあったのに入力ミスをしました。