中学受験の過去問題です。

質問

息子と一緒に受験勉強しています。
答えは解っているのですが、式の意味がよく理解できません。
宜しくお願いいたします。

●１
　３％の食塩水90グラムに食塩を何グラム加えると10％になるか？
　（90×0.1-2.7）÷（1-0.1）＝7
　答え　7グラム

●２
　A君はバスで９時に出発し50Km離れた植物園へ10時15分に到着しました。
その後、植物園から美術館まで時速３Kmで歩き10時55分に到着しました。
　(1)　バスの速度は？
　　　40Km/ｈ（これは解ります）
　(2)　植物園と美術館の距離は？
　　　2Km　（これも解ります）
　(3)　A君はお弁当を忘れたので、お母さんが9時45分に自家用車（時速53Km/ｈ）で追いかけました。
　　　追いつく時刻は何時でしょう？

　　この最後の問題が解りません。
　　答えは10時43分12秒です。

　　宜しくお願いいたします。

回答No.8

debut · ベストアンサー

Ｎｏ５です。
９０％というのは、食塩水全体が１００％、食塩が１０％
なので、１００－１０＝９０％が水である、ということです。

少しはわかりやすくなるかなあと思い、書き直してみます。

はじめ（水を□、食塩を●として）
□□|
□□|
□□|
●●|
・・90ｇ

この右側に加えた食塩（○）を並べて
　↓
□□|○
□□|○
□□|○
●●|○
・・90ｇ

右にある○を左の□と交換しながら均していくと食塩水が10％
になる（最右列上から２つの○が左の□２つと置き換わって・・）
　↓
□□|□↑90％（0.9）
□□|□↓
－－－－
○○|○↑10％（0.1）
●●|○↓
・・90ｇ

すると、左下の
○○
●●　部分の面積は９０×０.１

●●　は90ｇの３％なので90×0.03=２.７

右上の
□
□　部分の面積は、横幅×(１－０.１)

よって、左下の　○○　部分の面積と右上の
□
□　部分の面積は等しいから、
９０×０.１－２.７＝横幅×(１－０.１)
横幅は加えた食塩の重さのことなので、
加えた食塩の重さ＝(９０×０.１－２.７)÷(１－０.１)
となります。
考え方は「平均」と同じものです。

お礼

ありがとうございます！
なるほど、図解解りました。
あふれ出た、水は、ただの水ですよね。
そして、塩もまだ残っているんですよね。
その、あふれ出た水と残った塩でできる食塩水も１０％
１０％＋１０％＝１０％ということですね！
ありがとうございます。またよろしくお願いいたします。

あと…計算間違えました…３０年前でした。。。

回答No.7

Ishiwara

●２の(3)
＃５さんの方法でいいのですが、
「バスと自家用車の距離が毎時１３キロずつ縮まる」という考えは不要です。(3)では、もうバスのことは何も考えなくていいのです。
１０時１５分には、自家用車は、すでに３０分（26.5km）走り、Ａ君との距離は５０－２６.５＝２３.５キロになっていますから、あとは、この距離を縮めることに専念するだけです。

お礼

ありがとうございました。
二人同時に違う速度で動いていることに、まどわされました。
二人の距離の差を二人の速度の差で考えればよかったんですね。
自分で、再度図解して、納得しました。

回答No.6

key-boy

中学受験なら食塩水の問題は面積図か天秤算を使えば良いかと思います。
天秤算なら　９０(０.1-０.０３）÷（１－０.１）と言う式になります。

速さの問題はグラフを使って見ればどうでしょう。場合によってはダイヤグラフなど。

お礼

問題、補足つけましたが、皆さんのおかげで理解することができました。
ありがとうございます。
もう、頭が固くなってしまいましたが、頑張りたいとおもいます。
またよろしくお願いいたします。

補足

その天秤算の考え方が理解できないんです…鈍くてスミマセン。

方程式なら解るのですが…

回答No.5

debut

●１
水を□、はじめの食塩を●、加えた食塩を○とすると、
（イメージなので、個数とか全く関係ありません）
はじめは
□
□
●
加えた後は
□□
●○
○○
となったような、はじめの水の一部分に加えた食塩の一部が
加わり、その分だけ水が押し出され、その押し出された水は
加えた食塩の残りといっしょにある　というイメージです。
左の列は合計９０ｇのままです。
この状態が食塩１０％になっているのだから、左の列の９０ｇ
を取ってきてもそれは１０％です。したがって、左の列の●と
○は合わせて９０×０.１ｇです。●は２.７ｇなのでここの○
は９０×０.１－２.７ｇです。
これは、上に書いた、はじめの水の押し出された重さ、図で
いえば右列の□と同じになります。
右列の水は右列内でも９０％（割合は１－０.１）です。
よって、新しく加わった食塩の一部の９０×０.１－２.７は
右列内の１－０.１になるから、部分÷割合＝全体　より
（９０×０.１－２.７)÷(１－０.１)で新しく加わった食塩
の全体の重さが求められます。

水の方をみて、
・はじめの食塩水には水が９０－２.７＝８７.３ｇ。
　これが、食塩を加えた後には全体の９０％ぶんになるから
　８７.３÷０.９＝９７　で、全体が９７ｇになったとわかり
　ます。よって、はじめに比べて増えた分７ｇが加えた食塩の
　重さである。
とすればすっきり、簡単にできますが・・・

●２
・お母さんが出発したとき、バスはすでに40×(45/60)
　＝30km進んでいます。
・お母さんの車とバスの速さの差は13kmなので１時間に
　13kmの差が縮まります。
・よって、バスが植物園に着いたとき、９時45分からは
　30分たっているから両者の差は30-13×0.5=23.5kmに
　なっています。
・次に、お母さんの車と徒歩の速さの差は50kmなので
　１時間に50kmの差が縮まります。
・23.5÷50=0.47なので、差の23.5kmがなくなる(お母さん
　が追いつく)には植物園から0.47時間かかることが
　わかります。
・10時15分＋0.47時間＝10時15分＋28.2分
　　　　　　　　　　＝10時15分＋28分＋12秒

補足

いつも、詳しく解説ありがとうございます。
どうしても、頭が方程式で固まっていて…
天秤算での計算が理解できません。。。
２０年前もきっと天秤算習ってたんですよね…

割合の９０％の意味が解らないんです。
本当に鈍くてスミマセン

回答No.4

peror

すみません。No1です。
＞（-0.5+50/53）h÷50km/h=-0.01+1/53時間で追いつく。
の部分で、間違えました。
（-0.5+50/53）h×3ｋｍ÷50km/h=-0.03+3/53時間でした。

お礼

考えていただいてありがとうございます。
１０進法での考え方もあるんですね。
小数点が出てしまうので、面倒くさがりな息子には計算ミスに要注意ですが、勉強になりました。

回答No.3

gatt_mk

１．加える食塩をｘｇとします。

　　90X0.03＋ｘ＝（90＋ｘ）X0.1

左辺は既存食塩水（3％）中の食塩量と加えた食塩の合計量を意味します。
右辺は食塩を加えた後に10％となるわけですので、既存食塩水と加えた食塩量の合計に0.1（10％）をかけて食塩量を求めます。

計算すると
　　2.7＋ｘ＝90X0.1＋0.1ｘ
となり
　　ｘ－0.1ｘ＝90X0.1-2.7
　　ｘ(1-0.1)＝90X0.1-2.7
　　ｘ　=　（90X0.1-2.7）÷（1-0.1）

２．9時45分に出発してからかかる時間をｘ分とします。
9時45分の時点ではまだＡ君はバスに乗っており植物園に到着するまでは３０分あります。植物園に到着してから歩いている時間は（ｘ－30）で表すことができます。
植物園までは50Ｋｍで、Ａ君が歩いている距離は３×（ｘ－30）÷60で表すことができます（時速３Ｋｍなので分速で表すには60で割ります）。
お母さんの車は時速53Ｋｍなのでｘ分で走る距離は53ｘ÷60で表すことができます。
従って方程式は
　　　　　50＋３×（ｘ－30）÷60＝５３ｘ÷60
両辺に60をかけて
　　　　　3000＋３×（ｘ－30）＝５３ｘ
　　　　　3000＋３ｘ－90＝５３ｘ
　　　　　2910＝５０ｘ
両辺入れ替えて
　　　　　ｘ＝2910÷50
　　　　　ｘ＝58.2
となり追いつくまでに５８分と０．２分（１２秒）かかるわけです。
９時４５分から５８分１２秒後で１０時４３分１２秒になります。

お礼

ありがとうございました。
私には解りやすい解き方でした。
方程式から離れられなく、違う考え方ができません…
息子に、この際方程式でのやり方も教えちゃおうか検討しています。

回答No.2

Meowth

３％の食塩水90グラムに食塩を何グラム加えると10％になるか？
９０グラム中　
食塩
９０×0.03=2.7
１ｇ加えたときの10%0.1gを除いた残り1-0.1=０．９g
はじめの3%の食塩水の水と交換すれば、
10％食塩水が１ｇでき、もとの９０ｇ
の食塩水中の食塩は0.9ｇ増加する。
10％にするには、
90×0.1=9　ｇ
にすればよく、もともと2.7ｇあるから
9-2.7ｇ増やせばいいから、
(9-2.7)÷0.9=７ｇ
式を計算しないで書けば、質問の式になる
バスが植物園についたときお母さんは、
30分走って、家から26.5ｋｍの地点
植物園の23.5km手前にいる。この時点から歩き始めた
A君を追いかけると、
時速53Km/ｈで時速3km/hのA君を追いかけるから
１時間あたり50km距離が縮まる
追いつくのはお母さんが10時15分に歩き始めてから
23.5÷50×60=28 1/5
1/5×60=12
28分12秒後で

10時43分12秒

お礼

ありがとうございました。
食塩水の問題に関しては、天秤算についてもう少し勉強してみます。
どうしても、方程式から頭が離れません。

速度の問題について
そうですね。差の23.5Kmを二人の速度の差で考えればいいんですよね。
差は23.5Kmだけど、A君も歩き続けてるし…←その辺がひっかかってしまいました。
また、宜しくお願いいたします。

回答No.1

peror

２（３）
　お母さんは、バス停に着くのは、時間を強引に１０進法にすると、
９時４５分＝9.75時ですから、9.75+50/53時です。
A君は、10.25時についているので、時間差は、-0.5+50/53時間
その間を速度差50Km/hで埋めるので、
（-0.5+50/53）h÷50km/h=-0.01+1/53時間で追いつく。
9.75+50/53時から、-0.01+1/53時間後を求めればよい。
9.74+51/53＝567.22/53時＝10時+37.22/53時
＝10時+2233.2/53分＝10時+42分+432/53秒＝10時42分8秒
すみません、どっかで計算を間違ったようです。