階乗のゼロの数

質問

中学受験の子を持つ親です。塾で教わった解法がうまく説明できないので、どなたか教えて下さい。

受験問題でこんなものがあります。
１×２×３×・・・・・・×１９９×２００の計算結果は、一の位からゼロは何個並ぶでしょう。

子供が塾で教わった解答は、以下のようなものでした。
２００を５で割ると４０
２００を２５で割ると８
２００ｗ０１２５で割ると１余り７５
よってそれぞれの商の和　４９・・・答え

この解法で納得出来ないのは、何故２００についてのみ考えればよいのでしょうか。オーソドックスな解法であれば、１～２００のそれぞれについて素因数分解して５が何個あるかを調べればよいと思うのですが。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

＞＞
何故２００についてのみ考えればよいのでしょうか

いえ、塾のやり方は、１から２００まで全部考えてますよ。

【塾のやり方】

２００を５で割ると４０
　→　２００までの数には、５の倍数が４０個ある

２００を２５（５の２乗）で割ると８
　→　２００までの数には、５の２乗の倍数が８個ある

２００を１２５（５の３乗）で割ると１あまりなんちゃら
　→　２００までの数には、５の３乗の倍数が１個ある

２００を６２５（５の４乗）で・・・以降は、ゼロあまり２００

だから、素因数５は４９個ある。

【質問者さんの考え方】

２００！÷５　＝　４！×（２００！÷５！）　・・・５

４！×（２００！÷５！）÷５　＝　４！×（９！÷５！）×（２００！÷１０！）　・・・５

４！×（９！÷５！）×（２００！÷１０！）÷５

どちらがよいやりかたでしょうか・・・

【質問者さんの考え方　その２】
あらかじめ、１～２００のうち、５の倍数だけを取り出してから素因数分解

５×１０×１５×・・・×１９５×２００　＝　５^40 ×４０！
ここでまた、１～４０のうち５の倍数だけを取り出す
５^40 ×（５×１０×１５×・・・×３５×４０）
　＝ ５^40 × ５^8 × ８！
　＝ ５^49 × １×２×３×４×６×７×８

では、これからいよいよ素因数分解・・・・・
って、素因数分解する前に答えが出ちゃってますね。

お礼

仰る通りです。

回答No.6

noname#47894

>オーソドックスな解法であれば、１～２００のそれぞれについて素因数分解して５が何個あるかを調べればよいと思うのですが。
その通りで、塾が示した解法がそれにあたります。
最後の２００を素因数分解しているのではありません（そう勘違いしてしまうと１から１９９までの積は一の位からゼロは何個並ぶでしょう　ときかれたら、答えられなくなってしまいます）。

０が何個並ぶか（つまり分解結果の中に２と５の組が何個できるか）は、１～２００の「それぞれ」について素因数分解する必要はありません。２と５を約数に持つもの（つまり２と５の倍数）だけを相手にすれば良いと気づき、かつ、２の倍数の方が圧倒的に数が多いので、制約条件は５の倍数の方で決まることに気づけば、塾の解法にたどり着けます。
お子さんが通う塾ではその辺を詳しく説明しているかは不明ですが、生徒によっては、短絡的な思考で誤解してしまうおそれがありますね。

お礼

一番最後に投稿された方の解説に代表して御礼申し上げます。
子供に塾の先生に質問されましたが、要領を得ず、悩んでいたところです。一晩ですっきり納得できるとは思いませんでした。ネットの良い部分を体験出来感激しております。大変ありがとうございました。

回答No.5

key-boy

＞何故２００についてのみ考えればよいのでしょうか。

２００についてのみ考えてるのではなく、
２００÷５は１～２００の中に５の倍数はいくつあるかを示します。
２００÷５＝４０（個）この中には２５の倍数、１２５の倍数も含みます。
２００÷２５＝８（個）この中には１２５の倍数も含みます。
２００÷１２５＝１（個）あまり７５
５×２＾ｎは１０の倍数です。
２５×２＾ｎは１００の倍数です。（本来０が２つつくのですが、５の倍数で１回数えています。）
１２５×２＾ｎは１０００の倍数です。（本来０が３つつくのですが、５の倍数で１回、２５の倍数で１回数えています。）

お礼

ご説明ありがとうございました。前にも書きましたが、２００という数に気を取られ、２００個には思い至りませんでした。

回答No.3

debut

＞１～２００のそれぞれについて素因数分解して５が何個
＞あるかを調べればよいと思うのですが。

といっても、調べるべきは、結局５がなければならないので
５の倍数の４０個だけですよね。

で、この中には５が４０個は確実にある。
ところがこの中には、５を２つ含む数が25の倍数として８個あり、
またこの中には５を３つ含む数が125の倍数として１個ある。
だから、１×２×・・・・×199×200　を素因数分解すれば５が
40＋８＋１で49個ある、ということです。

だから、200の中で５の倍数、25の倍数、125の倍数だけを
数えればいいということで200を使った計算をしているわけです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

abyss-sym

数字の０が並ぶ数は、△×１０や□×１００のように書くことができますよね。
１０＝２×５、１００＝(２×５)×(２×５)と考えると、
『１×２×３×・・・・・・×１９９×２００』の中にいくつ２×５が作れるかがカギになります。

ところで、ここでは２の個数について考えません。明らかに５より多くあるからです。
なので、１～２００の２００個の数のうち、５の倍数がいくつ含まれるかを考えます。
２００÷５＝４０ より５の倍数は４０個
５×□というものは４０個になります。

さらに、５×５すなわち２５の倍数は、２００÷２５＝８ で８個
５×５×□というものは８個

さらに、１２５の倍数は２００÷１２５＝１・・・７５
５×５×５×□というものは１個

ここでは、「数字の２００」として考えているのではなく、「２００個の数」として考えています。
したがって、式には２００しか出てこないんです。

お礼

「数字の２００」として考えているのではなく、「２００個の数」として考えています。

は、目から鱗でした。ありがとうございます。

回答No.1

ka1234

こんにちは。

＞一の位からゼロは何個並ぶでしょう

というのは、
⇔１０で何回割れるでしょう　　というのと同値で、更に
⇔２×５で何回割れるでしょう
⇔２で割れる回数と５で割れる回数のうち少ない方
⇔５で何回割れるかを調べればよい　となります。（→☆）

質問者様の計算により、
１から２００の中には、５の倍数が４０個あります。
１から２００の中には、２５の倍数が８個あります。
１から２００の中には、１２５の倍数が１個あります。

従って全部で４９回、５で割れることになります。
同様の計算により、全部で１９７回、２で割れることになります。（☆）
４９回と１９７回の少ない方をとって、答えは４９回です。

＞オーソドックスな解法であれば、１～２００のそれぞれについて
素因数分解して５が何個あるかを調べればよいと思うのですが。

これでも良いのですが、試験中にやると「時間攻め」で負けてしまいます。

お礼

ありがとうございます。確かに私の方法では時間攻めで負けてしまうのはあきらかですね。