数学I 2次方程式の問題です

質問

ひし形ABCDの面積は54m2で、対角線BDの長さは対角線ACより3m長い。
このひし形の周の長さを求めよ。

答えは30mなのですが、求め方が分かりません。
式が分かる方よろしくお願いします。

回答No.3

arasara · ベストアンサー

こんにちは。

対角線の短い方の長さをｘｃｍとします。
すると、長い方の対角線は（ｘ＋３）ｃｍとなります。
ひし形ＡＢＣＤの面積＝（短い方の対角線）×（長い方の対角線）÷２
なので、ｘを代入して計算すると、
ｘ・（ｘ＋３）÷２＝５４
ゆえに、
（ｘ－９）・（ｘ＋１２）＝０
となります。
ｘ＞０だから、ｘ＝９（ｃｍ）
つぎにこのひし形の一片の長さをｙｃｍとします。
また、対角線の交点をＥとすると、直角三角形ＡＢＥの辺ＡＢ＝ｙとなります。
ＡＥ＝（９＋３）÷２＝６
ＢＥ＝９÷２＝４．５
従って、
ＡＢの２乗＝ＡＥの２乗＋ＢＥの２乗＝５６．２５
ゆえに、
ＡＢ＝７．５ｃｍ
ひし形の他の辺も同じ長さだから、
答え＝７．５×４＝３０ｃｍ２

こんな感じでしょうか？

回答No.4

pasocom

対角線ＡＣの長さをＸとすると、対角線ＢＤの長さは（Ｘ＋３）ということです。
ところで菱形の面積はＸかける（Ｘ＋３）わる２　です。（ここがキモ！）。
よって、式で書くと　Ｘ（Ｘ＋３）／２＝５４
Ｘ＾２＋３Ｘ－１０８＝０　となります。
（Ｘ－９）（Ｘ＋１２）＝０
Ｘ＝９　とわかります。
菱形の周囲の長さは　４×ルート（（９/２）＾２＋（１２/２）＾２）です。
ゆえに３０ｍとなります。
ゆえに

回答No.2

noname#40706

辺の長さをａ
対角線の長さの半分をｘ、ｙ
とします

１：２ｘｙ＝５４　（面積５４より）
２：ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２　　（３平方の定理）
３：２ｘー２ｙ＝３　　（３ｃｍ長い）

式３を２乗して　式１，２と組み合わせると

４ａ＾２＝２２５　となります。

ですから、ａ＝７．５

一周は４ａ＝３０

となります。

菱形の図形をを書いて考えてみてください。

回答No.1

metis

ACかBDをxと置いて、ACとBDを求めます。
ひし形の性質の一つに、「対角線が互いに他を垂直二等分する」というものがありますので、これを利用して一つの辺を求め、「すべての辺の長さが等しい」という性質を利用して周の長さを求めます。