ピックの定理について

質問

数学の課題の自由課題の部分で、ピックの定理を三次元に拡張してみようと思っています。
いろいろ試しに書いた図形の体積を求めているんですが、法則性がまったくつかめません。
どなたかやり方を教えてください。お願いします!!

回答No.2

kabaokaba

>どなたかやり方を教えてください。お願いします!!
それを聞いたら課題にならないような・・・

えーと，確かに一般論はエルハート多項式ですが，
これ高校の先生で分かる人ってどれくらいいるのかな．
「代数的組合せ論」っていう分野ででてくるけど，
エルハート多項式がでてくる日本語の文献そのものが少なくって，
「可換代数と組合せ論」って本が出てますが
これがおそらく（今売っているだろうものでは）
唯一つの日本語の本．
しかも大学の数学科の学生向け(^^;

閑話休題．
平面で考えますね．エルハート多項式ってのは，
格子点を頂点にもつ図形Pとその内部の格子点の個数に関する多項式です．
例えば，一番簡単なケースを考えます．
三角形S，頂点は(0,0)(1,1)(2,0)
では内部に格子点は0個．これを a(S)(1)=0と書きます
次にこの三角形Sを「二倍」にした三角形を2Sと書くことにすると
2Sの頂点は(0,0)(2,2)(4,0)で
内部の格子点は1個だから a(S)(2)=1
Sの三倍3Sは(0,0)(3,3)(6,0)で内部の格子点は4個で a(S)(3)=4
これをどんどんやっていくと
Sのn倍nSは(0,0)(n,n)(2n,0)で内部の格子点の数は
(n-1)^2 = n^2-2n+1 となって，a(S)(n)=n^2-2n+1
このa(S)(n)をSのエルハート多項式といいます．
このとき，最高次(n^2)の係数 1 が
実はピックの公式(*1)になってたりします．
もとのSの面積は「1」ですよね．

(*1)本当はピックの公式そのものではありませんが
今は，格子点が「素直な」ものなので一致しています．

こういうのに興味があれば，ピックの公式には
まったく関係ありませんが，最近出版された
結城浩「数学ガール」（ソフトバンククリエイティブ）
という本は，とても示唆に富んでますよ．

回答No.1

maku_x

とりあえず、ピックの定理は Wikipedia で調べてみると、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

その中で「この定理は 1899 年に Georg Alexander Pick によって初めて示され、Ehrhart 多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。」と書かれています。Ehrhart 多項式は、
http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrhart_polynomial
に書かれています。但し記述は、
・全部英語です。
・理解するには、大学レベルの数学の知識が必要です。
なので、Ehrhart 多項式の説明を印刷して、数学の先生のところに持っていって、中学生(高校生ですか？)に分かるように教えてください、と頼んでみる、とか。

お礼

参考にさせていただきます。ありがとうございます!!