二次関数（数IIB）がわかりません。

質問

諸事情により二次関数をとくことになったのですが、どうしても解けません。よろしくお願いします。

問題は、以下のものなのです。
「ⅹの二次方程式
　ｘ2（二乗）－２ａｘ－２ａ2（二乗）＋３＝０がｘ＞１の範囲に少なくとも１つの解を持つ、実数ａのとりうる値の範囲を求めよ」

ａの範囲をいくつかに分けて解くようですが、行き詰ってしまっています(+o+)

回答No.4

info22

＞（１）ではｆ（ａ）を、（２）ではｆ（１）を、
と、違うものを使っているのは、なぜですか？

各場合のy=f(x)のグラフを描いて頂けば理解しやすいでしょう。

f(a)は放物線の対称軸x=aにおける関数値ですから最小値です。
　f(a)≦0はf(x)=0の判別式D/4＝-f(a)≧0（実根条件）と等価です。

f(1)はx＞1の境界x＝1におけるy＝f(x)の値です。
　f(1)＜0はx＞1とx＜1に実根を1根ずつもつための必要十分条件です。

f(1)、f(a)を形式的に考えるのでなく、
それらが何を意味する値かを良く考えてください。
それらの関数値の正負でy＝f(x)グラフがx＞1で交わる、つまりf(x)＝0がx＞1で根をもつかが判別できます。

(１)は対称軸x=a＜1である場合ですから、この場合の条件下では
f(a)＜f(1)ですから、f(1)＜0はx＞1とx＜1に一根ずつもつ必要十分条件です。f(a)＜0は2実根条件ですが、x≦1に2実根が含まれていますので、f(1)＜0の方がより厳しい条件（x＞1に実根を持つ意味）です。
a＜1でf(1)＝2(2-a-a^2)＝-2(a+2)(a-1)＜0であれば、a＜-2となります。
このaの範囲ではf(a)＝3(1-a^2)＜0は当然満たされていることは言うまでもないですね。
従ってf(1)を使えは良いという訳です。

(３)は対称軸x=a＞1である場合ですから、x＞1に実根を少なくても一根をもつ（１根または2根）ための条件は
場合の条件a＞1と
f(a)≦0(判別式D≧0と同値)だけで良い訳です。
つまりf(a)だけを使えば良いという訳です。

形式的に覚えるのではなく、実質的な内容で理解することがまだやったことがない問題に行き当たったときに柔軟に対応できる解答力をつけますよ。

回答No.3

rui2007

解と係数の関係を使って、二つの解α、βの関係から
（α－１）（β－１）＝Ｋの形にしてみましょう。

あとは場合わけして・・・

回答No.2

info22

あなたの行き詰った所までの解を書いて質問して頂かないとマナー違反になります。

ヒントを上げますので解を書いて質問して下さい。

左辺をy=f(x)とおくとy=f(x)は下に凸の放物線で
f(1)=2(2-a-a^2)
f(a)=3(1-a^2)
f(x)={(x-a)^2}+3(1-a^2)
yの放物線の対称軸がx=aになりますから、
対称軸がx=1との位置関係で場合分けすること。
（１）a>1でf(a)=3(1-a^2)≦0であれば条件を満たす。
（２）a=1でf(a)=f(1)=0 不適
（３）a<1でf(1)=2(-a-a^2)<0であれば条件を満たす。
条件を満たす場合（１）と（３）のaの範囲を求めるだけです。

補足

回答をありがとうございます。
途中までは、理解できたのですが、そこから先が少しわかりにくいので、再度お願いします。

そのような手順で場合わけすることはわかったのですが、
（１）ではｆ（ａ）を、（２）ではｆ（１）を、
と、違うものを使っているのは、なぜですか？

回答No.1

Mr_Holland

2次方程式の左辺をf(x)とおいて、次のように表すとします。
　　f(x)＝x^2-2ax-2a^2+3＝(x-a)^2-3(a^2-1)

　さて、先ずはこの方程式が少なくとも1つ以上の解を持たなければならないので、解の判別式から
　　D’＝a^2-(-2a^2+3)≧0
でなければなりませんので、ここから次の条件が得られます。
　　a≦-1、1≦a　　・・・・・・（A)

　次に、ｘ＞１の範囲に少なくとも１つの解を持つ条件ですが、次の2通りに分けられます。

(1)　2解とも１より大きい場合
　このときの条件は、f(1)>0かつ2次関数の軸：x=aが１より大きいことですので、
　　f(1)＝-2{(a+1/2)^2-9/4}＞0　⇒　-2＜a＜1
　　a＞1
となりますが、これらを同時に満たすａは存在しないので、この場合はありえません。

(2)　１解だけ1よりも大きい場合
　このときの条件は、単にf(1)<0だけですので、
　　f(1)＝-2{(a+1/2)^2-9/4}＜0　⇒　a＜-2、1＜a　・・・・（B)
となります。

　そこで、ｘ＞１の範囲に少なくとも１つの解を持つ条件は、（A)かつ（B)ですので、
　　a＜-2、1＜a
と求められます。