立体角の表し方について

質問

立体角を表すのにステラジアンという単位ありますが、
これは「球の中心に対する立体角」として定義されています。
つまり、円錐の頂点の立体角をステラジアンを用いて表すことは出来ますが、
例えば四面体の頂点における立体角(多面角)の大きさはどう表すのでしょうか？
ご存知の方がいらっしゃいましたら、教えて頂きたいのですが。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

立体角は頂点から半径rの球でカットした場合のその立体（四面体など）が切り取る球の表面の部分の面積をSとすると立体角ωは
ω＝S/r^2
で与えられます。
半径rの球の中心から見た球の全表面の立体角はS＝4πr^2ですから
ω＝S/r^2＝4π[ステララジアン]
となります。
つまり、任意の境界面で囲まれた頂点の立体角は、頂点を中心とする半径1の球面上に、境界面を延長して投影してした球面上の面積ともいえます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E4%BD%93%E8%A7%92

お礼

ご回答ありがとうございます。
>つまり、任意の境界面で囲まれた頂点の立体角は、頂点を中心とする半径1の球面上に、境界面を延長して投影してした球面上の面積ともいえます

なるほど。
多面角についても円錐の場合と同じ様に考えればいいのですね。

回答No.5

jlglg

四面体の頂点における立体角は、たぶん、曲率や余剰角と呼ばれることがあると思います。

それは、四面体の頂点を構成する３つの面においてできる３種類の２面角をα、β、γとすると、
立体角＝α＋β＋γ-π
となります。

平面上の多角形において、内角の和の公式や外角の和が一定という公式がありますが、
多面体の立体角においても、同様の公式が知られています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
>四面体の頂点を構成する３つの面においてできる３種類の２面角をα、β、γとすると、
立体角＝α＋β＋γ-π
となります

これはすごいじゃないですか。

>多面体の立体角においても、同様の公式が知られています。

これもすごいじゃないですか。

これから四面体についてどんな関係があるのか考えてみたいと
思います。

回答No.4

info22

#1,#3です。A#3の参考URLは下記のものが正しいです。すみません訂正してください。
立方体（正6面体）以外は正多面体の頂点の立体角はcos^(-1)(アークコサイン、cosの逆関数)を使用しないと表せませんね。

参考URL：

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/aumer.htm

お礼

正多面体の頂点の立体角がすっきりした形で表されるのは興味深いですね。

No1,3ととても熱心な回答を頂き、ありがとうございました。

回答No.3

info22

#1です。具体例をあげておきましょう。立方体（直方体）の頂点の立体角の場合、同じ立方体（直方体）を8個用意して頂点を重ね合わせればその頂点の周りの空間が全部満たされます。その頂点から半径1の球の表面積は8個の等しい頂点の立体角の集まりで埋め尽くされますので個々の立方体（直方体）の頂点の立体角ωは全球表面の立体角４πの1/8のπ/2[sr(ステラジアン)]になります。その他の正多面体の頂点の立体角については参考URLをご覧下さい。
なお、A#1で[ステララジアン]は誤植ですので[ステラジアン]に訂正します。

参考URL：

http://www.http.com//web2.incl.ne.jp/yaoki/aumer.htm/web2.incl.ne.jp/yaoki/aumer.htm

お礼

非常に分かりやすい説明、ありがとうございます。
立方体（直方体）の頂点の立体角がすんなり求められるなんて
ちょっと感動しました。

回答No.2

ojisan7

四面体の頂点における立体角(多面角)についても、円錐の場合と同様です。四面体のひとつの頂点を頂点とする錐体が、単位球面を切り取るとき、切り取られた球面の面積が立体角になります。計算するには球面三角法の知識が必要ですが、そんなに難しくはありません。がんばってくださいね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
>切り取られた球面の面積
切り取られるのは球面三角形ですから、球面三角形の面積で
立体角が表されるいうことですね。