正規乱数

質問

正規乱数X（平均0、分散1）をN個発生させたとします。
Xの最大値Xmaxの期待値はどのように求めたらよいでしょうか？

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

標準正規分布の密度関数f(x), 分布関数F(x)としたときに
Xmaxの密度関数は、N*F(x)^(N-1)*f(x)となることはよろしいかと思います。
ということで、∫(-∞～+∞）Nx*F(x)^(N-1)*f(x) dx を計算・・・
すればよいのですが、F(x)を求めるだけでもわけわかんないので、あとはExcelかプログラムの力をお借りするのがよろしいかと思います。

お礼

ありがとうございます！
とりあえず、N=2のときは、解析的に出せたのですが、
N>=3では、私の数学の腕では求められませんでした。
N→∞の極限での式を解析的に出したいのですが、
どうでしょうか？

回答No.4

fujeira

Ｎ→∞のとき、Ｘｍａｘ→∞です。

箱の中にｍ個のボールが入っているとします。ボールには０～ｍ－１の数字が書かれています。ｍとしては大きな数を想定します。
ボールをランダムに取り出す操作をＮ回繰り返したとき、最も数字の大きかったボールの全ｍ個中の順位の平均は、およそ上位１／（Ｎ＋１）になります。
数字が０～ｍ－１の整数でなくて、正規分布に従う乱数が書かれているとしても、この順位は同じです。
いま、ｍがものすごく大きくなったとすると、上位から１／（Ｎ＋１）のところの値というのは、結局、正規分布の上側確率が１／（Ｎ＋１）となるところを求めることを意味します。
つまり、ｆ（ｚ）を正規分布の確率密度関数とすると、
∫（ｚ～∞）ｆ（ｚ）ｄｚ＝１／（Ｎ＋１）
となるｚが、質問のＸｍａｘの期待値となります。

お礼

いや、まあ、確かにそうなんですが、
いちおう目標はNo.2のお礼にも書いたように
「N→∞で、Xmax～log2(N)/2のオーダー」であることを示すことなんです。

たまに見てますのでよろしければ投稿をお願いします。

補足

グンベル「極値統計学」によると、
Xmax～√(2log(0.4N))
になるそうです。
お付き合いいただきありがとうございました。

回答No.3

fujeira

E(max{xi})i=1...N xiは正規乱数

N=1のとき、0
N=2のとき、0.430727596
N=3のとき、0.674490366
N=4のとき、0.841621386
…
ではないでしょうか?
G(x)：正規分布上側確率関数の逆関数とするとき、
G(1/(N+1))です。
Excelの関数で言うと、
　-NORMSINV(1/(N+1))
です。

お礼

N→∞での振る舞いを知りたいのですが、どうでしょうか？

回答No.2

sen-sen

ブートストラップ法でシミュレーションして、その信頼区間を求めるのはいかがでしょうか。

お礼

解析的に出したいのですが・・・
実際にシミュレーションを行ったところ、
N→∞で、Xmax～log2(N)/2のオーダーのようです。
この式ぐらいは出したいな、と。