因数分解の解き方と目的を教えてください

質問

因数分解の解き方を順序だてて教えてください　１共通因数でくくる
なら共通因数のくくり方を言ってそのあとに　２何々をする
といったように説明してください　あと目的も教えてください

回答No.6

debut

＞そのあとのｘ－１とかなんで括弧でくくるの科等分かりません　

　ｘｙ－ｘ－ｙ＋１
＝ｘ(ｙ－１)－(ｙ－１)・・・☆
　まではいいですね？
ここで、(ｙ－１)をＡとおいて、１つのものとして
考えてみると、☆の式は、
＝ｘＡ－Ａ　→ｘかけるＡ、と、Ａかける－１　なので
　　　　　　　　Ａが共通因数となり　Ａを出すので
＝Ａ(ｘ－１)
　　　　　　　　のように、Ａ以外のｘ－１をかっこで
　　　　　　　　くくります。（分配法則の逆）
　　　　　　　　そして、Ａをもとの(ｙ－１)に戻して
＝(ｙ－１)(ｘ－１)

＞何を持っていつどの公式を使うのか分かるのですか？

　これは、式の形（ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ）から判断できます。
　ｘの２次式で、ｘの２乗の項に１以外の係数がかけて
　あるから「たすきがけ」を使うんじゃないかなと考え
　ます。

回答No.5

debut

「共通因数」とは「いくつかの項に、共通して
かけられている数や文字のこと」です。
例えば、ａｘ＋ａ　なら、項ａｘ　と項ａ　には
ａ　が共通してかけられているから、共通因数は
ａ　です。
そして、共通因数は、※分配法則の逆を考えると
かっこの外に出すことができます。
ａｘ＋ａ　の例なら、ａ(ｘ＋１）

　※分配法則・・ａ(ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ

すると、
［１］ａｘ＋ａ＋ｂｘ＋ｂでは、
・ａｘとａの項の共通因数がａなので、ａを出し
　ａ(ｘ＋１)　　＜ａの項はａかける１と考える＞
・ｂｘとｂの項の共通因数がｂなので、ｂを出し
　ｂ(ｘ＋１)
＝ａ(ｘ＋１)＋ｂ(ｘ＋１)・・・☆
　　とできて、さらに、(ｘ＋１)は、項ａ(ｘ＋１)
　　と項ｂ(ｘ＋１)に共通するから共通因数とみる
　　ことができて、
＝(ｘ＋１)(ａ＋ｂ)
　　と、最終的に因数分解できます。

◎わかりにくければ、☆の式で、(ｘ＋１)を１つの
　文字Ｍとかに置き換えて、ａＭ＋ｂＭ　としてから
　Ｍが共通因数なので、Ｍ(ａ＋ｂ)　となり、Ｍを
　もとの(ｘ＋１)に戻して、(ｘ＋１)(ａ＋ｂ)　と
　してもよいです。

［２］ｘｙ－ｘ－ｙ＋１　なら、
・ｘｙと－ｘの項の共通因数がｘだから、ｘを出し
　ｘ(ｙ－１)　＜－ｘの項はｘかける－１と考える＞
・－ｙと＋１の項は－ｙをｙかける－１，＋１を
　－１かける－１と考え、－１が共通因数になって
　－１を出し、－(ｙ－１)
＝ｘ(ｙ－１)－(ｙ－１)
　　そして、項ｘ(ｙ－１)と項－(ｙ－１)では
　　(ｙ－１)が共通するから、それを共通因数と見て
＝(ｙ－１)(ｘ－１)
　　と、最終的に因数分解できます。

［３］６ｘ2＋ｘ－12　は「たすきがけ」です。

展開の
(ａｘ＋ｂ)(ｃｘ＋ｄ)
＝ａｃｘ2＋(ａｄ＋ｂｃ)ｘ＋ｂｄ　を利用し
　ａｃ＝６、ａｄ＋ｂｃ＝１、ｂｄ＝－12となる
　ａ，ｂ，ｃ，ｄをさがします。
　ここで説明するのはかなりやっかいなのですが、
ａ　　　ｂ　→ｂｃ
　　×
ｃ　　　ｄ　→ａｄ
↓　　　↓　　　↓
ａｃ　ｂｄ　　ｂｃ＋ａｄ
の形で
２　　３　→９（斜めの３かける３）
　×
３　－４　→ －８（斜めの２かける－４）
↓　　↓　　　↓
６　－12　　９－８＝１
なので、ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝３，ｄ＝－４
から、＝(２ｘ＋３)(３ｘ－４)
と因数分解できます。

補足

>そして、項ｘ(ｙ－１)と項－(ｙ－１)では
　　(ｙ－１)が共通するから
ここまでは分かります　そのあとのｘ－１とかなんで括弧でくくるの科等分かりません　
＞］６ｘ2＋ｘ－12　は「たすきがけ」です
何故それが分かるのですか公式は覚えていますけど　何を持って
いつどの公式を使うのか分かるのですか？

回答No.4

yanasawa

因数分解の目的について。

科学の視点は、総合と分析です。
因数分解は分析のための方法です。
顕微鏡を見たり、場合分けして考えたりするでしょう。
それが分析の一つです。例えば因数分解も同じです。

素因数分解は数の特徴を分析します。
同じように、因数分解は式の特徴を分析します。

で、これを受験のためなどと言う人もいます。
その人は本当に分かってやってるんでしょうかね。
まあ別にいいですけどね。

回答No.3

larme001

同じような質問があるので、勉強してほしいですが、一応答えてあげましょう。基本は、「慣れ」ですので、聞いてすぐ分かるというよりも、初めはゆっくりでも、何度も問題を解いていくうちに出来るようになるものということを理解してください。

まず因数分解とは、因数を展開する作業の逆です。因数を展開する作業は簡単ですが、因数分解は最終的には試しうちの要素が残ります。まあ、慣れればすぐ分かるのですが。
さて、まず（x+a)(x+b)を展開してみます。
丁寧にやると、
(x+a)(x+b)=(x+a)x+(x+a)b=x^2+ax+xb+ab=x^2+(a+b)x+ab
となります。これを逆、つまりx^2+(a+b)x+abの形から(x+a)(x+b)の形にすることを考えるのです。ここで重要なのが初めの式のa+b（和）とab(積）となるのがそれぞれxの一次、定数項の係数であることです。
ここから例題を考えます。

例1：x^2+5x+6
上の説明より、足して5,かけて6となる二つの組を探せば、(x+a)(x+b)の形に出来ることは分かるはずです。これを探すのですが、コツとしては、まず積のほうを考えて、その中で和が5になるものを考えると良いでしょう。積６の組は（1,6)(2,3)ですが、このうち和を満たすものは後者です。よって、（x+3)(x+2)がこたえです。

例2:x^2+5x-24
今度は定数項がマイナスです。ということは、どちらかはマイナスということですが、ここで一次の係数（和）が正の数（5)ということはマイナスになるほうが小さいということは大体分かるでしょう。さて積をかんがえるのですが、たとえば(24,-1)(12,-2)のような極端な組はどう考えても5なんて小さい数字にならないはずです。ということはやるまでも無いでしょう。つまり、[差が5」という比較的小さい値の場合は、a,bの値もお互い近いのではないか、と直感的に推測するのです。そうすると、たとえば（6,-4)の組ですが、これだと2ですから少し小さすぎる、なら6より次に大きい24の因数あたりで(8,-3)とすると5になる、これなら和5を満たすでしょう。結局(x+8)(x-3)ともとまります。

例3:4x^2-4x+15
さて、x^2に4という係数がつきましたこの場合はどうなるでしょう。ためしに（ax+b)(cx+d)を展開するとacx^2+(ad+bc)x+bdとなります。つまりaとd,bとcの和(差）がxの係数となるだけで,後はあまり変わらないのです。しかし、これをいちいちこうして因数で作ってさがしていては面倒ですので、厄介な問題の場合は「たすきがけ」を使って調べます。たすきがけのやり方は、図解したほうが分かりやすいでしょうから、中学校の参考書か教科書で確認しましょう。慣れてくると、正直たすきがけなんか使わなくてもとけるのがほとんどです。
このパターンの問題の考え方だけヒントをだします。まず二乗の係数を決めます。この場合は(1,4)か(2,2)ですが、ここでも-4は小さい数なので、とりあえず同じぐらいの(2,2)でやってみます。これだけは、b,dの選び方によってもかなりかわるので、とりあえず直感的に選んでやってみるしか無いでしょう。ただ、出来るだけ近い数字から（6であれば、（1,6)ではなくて（2,3)など）でやるのがたいていうまくいきます。
(2,2)としたなら、次はー15についてですが、これも（3,-5)(1,-15)のどちらかです。この場合は明らかに-15は無理そうなので前者だろうな、と大体見当がつけられます。
以上より（2x-5)(2x+3)ではないか？とできたら、実際に係数を考えてみると2x3+2x(-5)=-4なので因数分解できている、とわかるでしょう。

因数分解の目的ですか？それが全く理解できていないということは、数学をあまり理解していないのかもしれませんね。因数分解が出来るとたとえば、（x+3)(x+2)=0ならxが-3,-2のいずれかであることが分かります。これは掛け算の場合0となる為には0を少なくとも一回はかけなければいけないからです。足し算は、正負があるのでややこしいですが、掛け算の形で表せる（つまり因数のみ）というのは、一つの項が0になれば他の項が無視できるのです。
(x-1)(x-2)(x-3),,,,,(x-100)=? もしx=1とわかれば初めの項が０（ゼロ）なので、答えも０ですよね。これをx^100+.....の形にx=1を代入して計算する事と比べたらはるかに有意義ですよね。もちろんこれ以外の利用は沢山あります。

せっかく”詳しく”回答したので、後は、ぜひ問題を解いて得意になってください。

補足

今まで同じ質問をしたのは分からないからです　多分larme001算の回答は分かりやすい回答なのでしょうが僕はバカなので分かりません
因数分解の手順を教えてください　ａｘ＋ａ＋ｂｘ＋ｂ　　　
　６ｘ２＋ｘ－12　　ｘｙ－ｘ－ｙ＋１ 　を解きながら教えてください　僕が分からないのはどの公式を使えばいいのかということと
共通因数とは何かということです

回答No.2

noname#101087

因数分解とは?

(1) 受験用 : その場しのぎの技能でしょう。受験終れば忘却のかなたへ。
　　因数分解の手法そのもの/関数方程式の解法に利用/…などなど。

(2) 実用 : 技術設計などで必要。飯の種に必要なアイテムです。
　　システム・モデルのデザイン/安定性評価/…などなど。
　　(門外漢には見えにくいため、せまい実経験から。実際はソフトに組み込まれているのが大部分。
　　とはいえこれ無しでは仕事にならないはず。多項式の因数分解で、Newton 式の逐次解法。
　　まあ、実用というのは無味乾燥なものというのが相場です)

回答No.1

futoshi123

57265さんの一連の質問を見ていると、因数分解以前に問題があるように思えます。代数計算は積み重ねでできるようになりますので、それ以前の計算練習を行うべきではないかと考えます。