代数のオイラー関数についての質問です。

質問

自然数nのオイラーの関数φ(x)について、φ(x)=4n/5が成り立つ時、ｎがどのような数になるのか調べたいのですが、自分で計算したときに途中で行きずまってしまいました。
＜自分の解答＞
ｎの素因数分解のn=p1^e1*p2^e2*・・・*ps^es(ps>0)とする。このとき、
φ(x)/n=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)となるので
ゆえに
　　　1/2=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
通分して整理すると、5*p1^e1*p2^e2*・・・*ps=4*(p1-1)(p2-1)・・・(ps-1)

とここからどのようにしていいのかわかりません（泣）

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

xではなくnでは？
また、
1/2=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
とあるのは
4/5=(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
では？
すると、p1,…,psのなかに5がなくてはならない。
p1=5とすると、
1=(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
となる。
ところが、右辺は1より小さいので矛盾する。
よって、s=1でなければならない。
（素因数の種類は１個）
ゆえに、n=5^e1の形の数のみがφ(n)=4n/5を満たす。

補足

間違えがたくさんあってすみません笑　ありがとうございます＾＾