アフィン変換でR^2の直線は直線に移る、逆は成立するか?
アフィン変換でR^2の直線は直線に移る、逆は成立するか?
R^2→R^2
(x,y)→(ax+by+c,dx+ey+d)
ただし、ae-bd≠0
というアフィン変換で、任意の直線は直線に移ります。
では、任意の直線が直線に移る変換は、アフィン変換に限られるのでしょうか?
ただし、変換の意味に全単射を含めるか含めないかですが、いちおう、簡単のために、含めるとしておきます。
ここで難しいと思っているのは、直線が直線に移るといっても、点の順番が保たれるとは限らないことです。
例えば、
R^2の点(1,0)と点(-1,0)を交換し、それ以外の点はそのままにする変換を考えます。
y=0という直線はy=0という直線に移りますが、x=1という直線は直線に移りません。1点だけが離れています。
直線上の点の順番が保たれないものがひとつでもあれば、ある直線は直線に移らないことだろうとは思うのですが、
そのへんをうまく示すことが出来ません。
どうかお力をお貸し願えたらと思います。
お礼
ありがとうございます。これですっきりしました。